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Theorem ssufl 20182
Description: If  Y is a subset of  X and filters extend to ultrafilters in  X, then they still do in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e. UFL )

Proof of Theorem ssufl
Dummy variables  f 
g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  X  e. UFL )
2 filfbas 20112 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  Y ) )
4 filsspw 20115 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ~P Y
)
6 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  Y  C_  X )
7 sspwb 4696 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
95, 8sstrd 3514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ~P X
)
10 fbasweak 20129 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e. UFL )  ->  f  e.  ( fBas `  X )
)
113, 9, 1, 10syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  X ) )
12 fgcl 20142 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
14 ufli 20178 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen f )  C_  u )
151, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  X ) ( X filGen f )  C_  u )
16 ssfg 20136 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ( X filGen f ) )
1817adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
19 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  ( X filGen f )  C_  u )
2018, 19sstrd 3514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  u )
21 filtop 20119 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
2221ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  e.  f )
2320, 22sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  e.  u )
24 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  u  e.  ( UFil `  X
) )
256adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  C_  X )
26 trufil 20174 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( UFil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  <->  Y  e.  u ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  <->  Y  e.  u ) )
2823, 27mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ut 
Y )  e.  (
UFil `  Y )
)
295adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_ 
~P Y )
30 restid2 14686 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  f  /\  f  C_  ~P Y )  ->  ( ft  Y )  =  f )
3122, 29, 30syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ft 
Y )  =  f )
32 ssrest 19471 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( UFil `  X )  /\  f  C_  u )  ->  (
ft 
Y )  C_  (
ut 
Y ) )
3324, 20, 32syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ft 
Y )  C_  (
ut 
Y ) )
3431, 33eqsstr3d 3539 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  ( ut  Y ) )
35 sseq2 3526 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( ut  Y )  ->  ( f  C_  g 
<->  f  C_  ( ut  Y
) ) )
3635rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  /\  f  C_  ( ut  Y ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
3728, 34, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
3815, 37rexlimddv 2959 . . 3  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y ) f 
C_  g )
3938ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  A. f  e.  ( Fil `  Y
) E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
40 ssexg 4593 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e. UFL )  ->  Y  e.  _V )
4140ancoms 453 . . 3  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
42 isufl 20177 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  Y ) E. g  e.  (
UFil `  Y )
f  C_  g )
)
4341, 42syl 16 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  Y ) E. g  e.  (
UFil `  Y )
f  C_  g )
)
4439, 43mpbird 232 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e. UFL )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾t crest 14676   fBascfbas 18205   filGencfg 18206   Filcfil 20109   UFilcufil 20163  UFLcufl 20164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-rest 14678  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-fil 20110  df-ufil 20165  df-ufl 20166
This theorem is referenced by:  ufldom  20226
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