Theorem filtop 21469

Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filtop	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 21462	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		fbasne0 21444	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
4		n0 3890	. . 3 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹)
5		filelss 21466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
6		ssid 3587	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
7		filss 21467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐹)
8	7	3exp2 1277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))))
9	8	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑋 ⊆ 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹)))
10	6, 9	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐹))
11	5, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑋 ∈ 𝐹)
12	11	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
13	12	exlimdv 1848	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐹))
14	4, 13	syl5bi 231	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ≠ ∅ → 𝑋 ∈ 𝐹))
15	3, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  fBascfbas 19555  Filcfil 21459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-fbas 19564  df-fil 21460

This theorem is referenced by:  isfil2  21470  filn0  21476  infil  21477  filunibas  21495  filuni  21499  trfil1  21500  trfil2  21501  fgtr  21504  trfg  21505  isufil2  21522  filssufil  21526  ssufl  21532  ufileu  21533  filufint  21534  uffixfr  21537  cfinufil  21542  rnelfmlem  21566  rnelfm  21567  fmfnfmlem1  21568  fmfnfmlem2  21569  fmfnfmlem4  21571  fmfnfm  21572  flfval  21604  fclsfnflim  21641  flimfnfcls  21642  fcfval  21647  alexsublem  21658  metust  22173  cmetss  22921  minveclem4a  23009  filnetlem3  31545  filnetlem4  31546