Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structcnvcnv 15706
 Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 5067 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 cnvcnv 5505 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3 inss2 3796 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
42, 3eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (V × V)
54sseli 3564 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
61, 5mto 187 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ 𝐹
7 disjsn 4192 . . . . 5 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
86, 7mpbir 220 . . . 4 (𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9 cnvcnvss 5507 . . . . 5 𝐹𝐹
10 reldisj 3972 . . . . 5 (𝐹𝐹 → ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
128, 11mpbi 219 . . 3 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
1312a1i 11 . 2 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14 isstruct2 15704 . . . . . 6 (𝐹 Struct 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘𝑋)))
1514simp2bi 1070 . . . . 5 (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
16 funrel 5821 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
18 dfrel2 5502 . . . 4 (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
1917, 18sylib 207 . . 3 (𝐹 Struct 𝑋(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
20 difss 3699 . . . 4 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
21 cnvss 5216 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
22 cnvss 5216 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2320, 21, 22mp2b 10 . . 3 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
2419, 23syl6eqssr 3619 . 2 (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2513, 24eqssd 3585 1 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Rel wrel 5043  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ...cfz 12197   Struct cstr 15691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697 This theorem is referenced by:  structfun  15707  eengbas  25661  ebtwntg  25662  ecgrtg  25663  elntg  25664
 Copyright terms: Public domain W3C validator