MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Structured version   Unicode version

Theorem structcnvcnv 14730
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 5016 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 cnvcnv 5443 . . . . . . . 8  |-  `' `' F  =  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )
3 inss2 3705 . . . . . . . 8  |-  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )  C_  ( _V  X.  _V )
42, 3eqsstri 3519 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3485 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  `' `' F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
)
61, 5mto 176 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  `' `' F
7 disjsn 4076 . . . . 5  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  `' `' F )
86, 7mpbir 209 . . . 4  |-  ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)
9 cnvcnvss 5445 . . . . 5  |-  `' `' F  C_  F
10 reldisj 3858 . . . . 5  |-  ( `' `' F  C_  F  -> 
( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F 
\  { (/) } ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } ) )
128, 11mpbi 208 . . 3  |-  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } )
1312a1i 11 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/)
} ) )
14 isstruct2 14728 . . . . . 6  |-  ( F Struct  X 
<->  ( X  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( ... `  X
) ) )
1514simp2bi 1010 . . . . 5  |-  ( F Struct  X  ->  Fun  ( F  \  { (/) } ) )
16 funrel 5587 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( F Struct  X  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
18 dfrel2 5441 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  \  { (/)
} )  <->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
1917, 18sylib 196 . . 3  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
20 difss 3617 . . . 4  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
21 cnvss 5164 . . . 4  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F )
22 cnvss 5164 . . . 4  |-  ( `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2320, 21, 22mp2b 10 . . 3  |-  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F
2419, 23syl6eqssr 3540 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2513, 24eqssd 3506 1  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564   ` cfv 5570    <_ cle 9618   NNcn 10531   ...cfz 11675   Struct cstr 14715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721
This theorem is referenced by:  structfun  14731  eengbas  24489  ebtwntg  24490  ecgrtg  24491  elntg  24492
  Copyright terms: Public domain W3C validator