MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem structcnvcnv 15181
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4881 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 cnvcnv 5307 . . . . . . . 8  |-  `' `' F  =  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )
3 inss2 3665 . . . . . . . 8  |-  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )  C_  ( _V  X.  _V )
42, 3eqsstri 3474 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3440 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  `' `' F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
)
61, 5mto 181 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  `' `' F
7 disjsn 4044 . . . . 5  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  `' `' F )
86, 7mpbir 214 . . . 4  |-  ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)
9 cnvcnvss 5309 . . . . 5  |-  `' `' F  C_  F
10 reldisj 3820 . . . . 5  |-  ( `' `' F  C_  F  -> 
( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F 
\  { (/) } ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } ) )
128, 11mpbi 213 . . 3  |-  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } )
1312a1i 11 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/)
} ) )
14 isstruct2 15179 . . . . . 6  |-  ( F Struct  X 
<->  ( X  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( ... `  X
) ) )
1514simp2bi 1030 . . . . 5  |-  ( F Struct  X  ->  Fun  ( F  \  { (/) } ) )
16 funrel 5618 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( F Struct  X  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
18 dfrel2 5305 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  \  { (/)
} )  <->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
1917, 18sylib 201 . . 3  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
20 difss 3572 . . . 4  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
21 cnvss 5026 . . . 4  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F )
22 cnvss 5026 . . . 4  |-  ( `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2320, 21, 22mp2b 10 . . 3  |-  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F
2419, 23syl6eqssr 3495 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2513, 24eqssd 3461 1  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1455    e. wcel 1898   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   class class class wbr 4416    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   Rel wrel 4858   Fun wfun 5595   ` cfv 5601    <_ cle 9702   NNcn 10637   ...cfz 11813   Struct cstr 15166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172
This theorem is referenced by:  structfun  15182  eengbas  25060  ebtwntg  25061  ecgrtg  25062  elntg  25063
  Copyright terms: Public domain W3C validator