MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Structured version   Unicode version

Theorem structcnvcnv 15095
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4882 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 cnvcnv 5308 . . . . . . . 8  |-  `' `' F  =  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )
3 inss2 3689 . . . . . . . 8  |-  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )  C_  ( _V  X.  _V )
42, 3eqsstri 3500 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3466 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  `' `' F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
)
61, 5mto 179 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  `' `' F
7 disjsn 4063 . . . . 5  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  `' `' F )
86, 7mpbir 212 . . . 4  |-  ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)
9 cnvcnvss 5310 . . . . 5  |-  `' `' F  C_  F
10 reldisj 3842 . . . . 5  |-  ( `' `' F  C_  F  -> 
( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F 
\  { (/) } ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } ) )
128, 11mpbi 211 . . 3  |-  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } )
1312a1i 11 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/)
} ) )
14 isstruct2 15093 . . . . . 6  |-  ( F Struct  X 
<->  ( X  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( ... `  X
) ) )
1514simp2bi 1021 . . . . 5  |-  ( F Struct  X  ->  Fun  ( F  \  { (/) } ) )
16 funrel 5618 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( F Struct  X  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
18 dfrel2 5306 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  \  { (/)
} )  <->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
1917, 18sylib 199 . . 3  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
20 difss 3598 . . . 4  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
21 cnvss 5027 . . . 4  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F )
22 cnvss 5027 . . . 4  |-  ( `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2320, 21, 22mp2b 10 . . 3  |-  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F
2419, 23syl6eqssr 3521 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2513, 24eqssd 3487 1  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   Rel wrel 4859   Fun wfun 5595   ` cfv 5601    <_ cle 9675   NNcn 10609   ...cfz 11782   Struct cstr 15080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086
This theorem is referenced by:  structfun  15096  eengbas  24857  ebtwntg  24858  ecgrtg  24859  elntg  24860
  Copyright terms: Public domain W3C validator