Theorem cnvcnvss 5507

Description: The double converse of a class is a subclass. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvss	⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cnvcnvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv 5505	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 = (𝐴 ∩ (V × V))
2		inss1 3795	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V × V)) ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3598	1 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

Syntax hints:  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046

This theorem is referenced by:  funcnvcnv  5870  foimacnv  6067  cnvfi  8131  structcnvcnv  15706  strlemor1  15796  mvdco  17688  fcoinver  28798  fcnvgreu  28855  cnvct  28878  cnvssb  36911  relnonrel  36912  clcnvlem  36949  cnvtrrel  36981  relexpaddss  37029