Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itvid 25141 |
. . . . . 6
⊢ Itv =
Slot (Itv‘ndx) |
2 | | fvex 6113 |
. . . . . . 7
⊢
(EEG‘𝑁) ∈
V |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V) |
4 | | ebtwntg.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
5 | | eengstr 25660 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(EEG‘𝑁) Struct
〈1, ;17〉) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct 〈1, ;17〉) |
7 | | isstruct 15705 |
. . . . . . . . 9
⊢
((EEG‘𝑁)
Struct 〈1, ;17〉 ↔
((1 ∈ ℕ ∧ ;17
∈ ℕ ∧ 1 ≤ ;17)
∧ Fun ((EEG‘𝑁)
∖ {∅}) ∧ dom (EEG‘𝑁) ⊆ (1...;17))) |
8 | 7 | simp2bi 1070 |
. . . . . . . 8
⊢
((EEG‘𝑁)
Struct 〈1, ;17〉 →
Fun ((EEG‘𝑁) ∖
{∅})) |
9 | 6, 8 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖
{∅})) |
10 | | structcnvcnv 15706 |
. . . . . . . . 9
⊢
((EEG‘𝑁)
Struct 〈1, ;17〉 →
◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})) |
11 | 6, 10 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})) |
12 | 11 | funeqd 5825 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))) |
13 | 9, 12 | mpbird 246 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁)) |
14 | | opex 4859 |
. . . . . . . . 9
⊢
〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ V |
15 | 14 | prid1 4241 |
. . . . . . . 8
⊢
〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ {〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉} |
16 | | elun2 3743 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ {〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉} →
〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈
({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) |
17 | 15, 16 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢
〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈
({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉}) |
18 | | eengv 25659 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(EEG‘𝑁) =
({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) |
19 | 4, 18 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({〈(Base‘ndx),
(𝔼‘𝑁)〉,
〈(dist‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) |
20 | 17, 19 | syl5eleqr 2695 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ (EEG‘𝑁)) |
21 | | fvex 6113 |
. . . . . . . 8
⊢
(𝔼‘𝑁)
∈ V |
22 | 21, 21 | mpt2ex 7136 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉}) ∈ V |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉}) ∈ V) |
24 | 1, 3, 13, 20, 23 | strfv2d 15733 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉}) = (Itv‘(EEG‘𝑁))) |
25 | | ebtwntg.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) |
26 | 24, 25 | syl6reqr 2663 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})) |
27 | | simprl 790 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋) |
28 | | simprr 792 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌) |
29 | 27, 28 | opeq12d 4348 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑋, 𝑌〉) |
30 | 29 | breq2d 4595 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
31 | 30 | rabbidv 3164 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉}) |
32 | | ebtwntg.x |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃) |
33 | | ebtwntg.2 |
. . . . . 6
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) |
34 | 32, 33 | syl6eleq 2698 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) |
35 | | eengbas 25661 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(𝔼‘𝑁) =
(Base‘(EEG‘𝑁))) |
36 | 4, 35 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁))) |
37 | 34, 36 | eleqtrrd 2691 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
38 | | ebtwntg.y |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃) |
39 | 38, 33 | syl6eleq 2698 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) |
40 | 39, 36 | eleqtrrd 2691 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
41 | 21 | rabex 4740 |
. . . . 5
⊢ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ∈ V |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ∈ V) |
43 | 26, 31, 37, 40, 42 | ovmpt2d 6686 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉}) |
44 | 43 | eleq2d 2673 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉})) |
45 | | ebtwntg.z |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃) |
46 | 45, 33 | syl6eleq 2698 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) |
47 | 46, 36 | eleqtrrd 2691 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
48 | | breq1 4586 |
. . . 4
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
49 | 48 | elrab3 3332 |
. . 3
⊢ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ↔ 𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
50 | 47, 49 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ↔ 𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
51 | 44, 50 | bitr2d 268 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) |