Theorem sralem 18998

Description: Lemma for srabase 18999 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 18997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	3, 4	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6	2, 5	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
7	6	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
8		sralem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 15716	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		sralem.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
12	9	nnrei 10906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		5re 10976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnei 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
15	14	necomd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16		5lt8 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
17		8re 10982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	13, 17, 12	lttri 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
19	16, 18	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
20	13, 12	ltnei 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
22	15, 21	jaoi 393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
23	11, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
24	8, 9	ndxarg 15715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
25		scandx 15836	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
26	24, 25	neeq12i 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
27	23, 26	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
28	10, 27	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
29		5lt6 11081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
30		6re 10978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
31	12, 13, 30	lttri 10042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
32	29, 31	mpan2 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
33	12, 30	ltnei 10040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
35	34	necomd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36		6lt8 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
37	30, 17, 12	lttri 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
38	36, 37	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
39	30, 12	ltnei 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
41	35, 40	jaoi 393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
42	11, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
43		vscandx 15838	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
44	24, 43	neeq12i 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
45	42, 44	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
46	10, 45	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
47	12, 13, 17	lttri 10042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
48	16, 47	mpan2 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
49	12, 17	ltnei 10040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
51	50	necomd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
52	17, 12	ltnei 10040	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
53	51, 52	jaoi 393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
54	11, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
55		ipndx 15845	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
56	24, 55	neeq12i 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
57	54, 56	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
58	10, 57	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	28, 46, 58	3eqtri 2636	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
60	7, 59	syl6reqr 2663	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	8	str0 15739	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6097	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fvprc 6097	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
65	64	fveq1d 6105	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
66		0fv 6137	. . . . . 6 ⊢ (∅‘𝑆) = ∅
67	65, 66	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
68	1, 67	sylan9eqr 2666	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
69	68	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
70	61, 63, 69	3eqtr4a 2670	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
71	60, 70	pm2.61ian 827	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   < clt 9953  ℕcn 10897  5c5 10950  6c6 10951  8c8 10953  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  ·_𝑖cip 15773  subringAlg csra 18989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-sra 18993

This theorem is referenced by:  srabase  18999  sraaddg  19000  sramulr  19001  sratset  19005  srads  19007  cchhllem  25567