Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrlearg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlearg 38627
Description: The square compared with its argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrlearg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sqrlearg (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem sqrlearg
StepHypRef Expression
1 0re 9919 . . . . 5 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 ≤ 1)
4 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5 sqrlearg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
74, 6ltnled 10063 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → (1 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 1))
83, 7mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 1 < 𝐴)
9 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
105adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
14 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
1511, 9, 10, 13, 14lttrd 10077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1610, 15elrpd 11745 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
179, 10, 16, 14ltmul2dd 11804 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴))
185recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918mulid1d 9936 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2118sqvald 12867 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
2221eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
2420, 23breq12d 4596 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴↑2)))
2517, 24mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴↑2))
268, 25syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
2726adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 < (𝐴↑2))
28 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
295resqcld 12897 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
315adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31lenltd 10062 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝐴↑2)))
3328, 32mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 1) → ¬ 𝐴 < (𝐴↑2))
3527, 34condan 831 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
36 1red 9934 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
3735, 36syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3831sqge0d 12898 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑2))
392, 30, 31, 38, 28letrd 10073 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
402, 37, 31, 39, 35eliccd 38573 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴↑2) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
4140ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))
42 unitssre 12190 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
4342sseli 3564 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 1red 9934 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ)
45 0xr 9965 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ∈ ℝ*)
4744rexrd 9968 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 1 ∈ ℝ*)
48 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ (0[,]1))
4946, 47, 48iccgelbd 38617 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
5046, 47, 48iccleubd 38622 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ≤ 1)
5143, 44, 43, 49, 50lemul2ad 10843 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
5251adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
5322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐴) = (𝐴↑2))
5419adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5553, 54breq12d 4596 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐴 · 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
5652, 55mpbid 221 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (0[,]1)) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴)
5756ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (0[,]1) → (𝐴↑2) ≤ 𝐴))
5841, 57impbid 201 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) ≤ 𝐴𝐴 ∈ (0[,]1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  2c2 10947  [,]cicc 12049  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  smfmullem1  39676
  Copyright terms: Public domain W3C validator