Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 39636
 Description: A constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x 𝑥𝜑
smfconst.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (𝜑𝐴 𝑆)
smfconst.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
smfconst (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 nfmpt1 4675 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
31, 2nfcxfr 2749 . 2 𝑥𝐹
4 nfv 1830 . 2 𝑎𝜑
5 smfconst.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 𝑥𝜑
8 smfconst.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 6294 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
11 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
127, 11nfan 1816 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
13 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑥 𝐵 < 𝑎
1412, 13nfan 1816 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
158ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 39592 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18 eqidd 2611 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 3779 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑆 ↔ ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2221ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2648 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ( 𝑆𝐴))
245ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 38310 . . . . . . 7 (𝜑 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 4733 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
2824salunid 39247 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆𝑆)
29 eqid 2610 . . . . 5 ( 𝑆𝐴) = ( 𝑆𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 38322 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ( 𝑆𝐴) ∈ (𝑆t 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
32 nfv 1830 . . . . . 6 𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
3312, 32nfan 1816 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
348ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35 rexr 9964 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 10062 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
4037, 39mpbird 246 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎𝐵)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 39591 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ∅)
42 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 39253 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 39244 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4544ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2688 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 828 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 39624 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   ↾t crest 15904  SAlgcsalg 39204  SMblFncsmblfn 39586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-rest 15906  df-salg 39205  df-smblfn 39587 This theorem is referenced by:  smfmbfcex  39646  smfmulc1  39681
 Copyright terms: Public domain W3C validator