Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdf 39624
 Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdf.x 𝑥𝐹
issmfdf.a 𝑎𝜑
issmfdf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfdf.d (𝜑𝐷 𝑆)
issmfdf.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfdf.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfdf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎   𝑥,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem issmfdf
StepHypRef Expression
1 issmfdf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
21fdmd 38415 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfdf.d . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
42, 3eqsstrd 3602 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
51ffdmd 5976 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6 issmfdf.a . . . 4 𝑎𝜑
7 issmfdf.p . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
8 issmfdf.x . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
98nfdm 5288 . . . . . . . . . 10 𝑥dom 𝐹
10 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐷
119, 10rabeqf 3165 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐷 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
132oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆t dom 𝐹) = (𝑆t 𝐷))
1412, 13eleq12d 2682 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
167, 15mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
1716ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
186, 17ralrimi 2940 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
194, 5, 183jca 1235 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
20 issmfdf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
21 eqid 2610 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
228, 20, 21issmff 39620 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))))
2319, 22mpbird 246 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   < clt 9953   ↾t crest 15904  SAlgcsalg 39204  SMblFncsmblfn 39586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-smblfn 39587 This theorem is referenced by:  issmfdmpt  39635  smfconst  39636
 Copyright terms: Public domain W3C validator