Theorem subsalsal 39253

Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsalsal.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
subsalsal.3	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
subsalsal	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsalsal.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)
2	1	ovexi 6578	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
4		subsalsal.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		subsalsal.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6	4	0sald 39244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7		0in 3921	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ 𝐷) = ∅
8	7	eqcomi 2619	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
9	4, 5, 6, 8	elrestd 38322	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	9, 1	syl6eleqr 2699	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11		eqid 2610	. 2 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑇)
13	12, 1	syl6eleq 2698	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15		elrest 15911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
16	4, 5, 15	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
18	14, 17	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
19	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20	19	3adant3 1074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
21	5	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23	19, 22	saldifcld 39241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	3adant3 1074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
25		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
26	20, 21, 24, 25	elrestd 38322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	1	unieqi 4381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	4, 5	restuni3 38333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
30	28, 29	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
32		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
33	31, 32	difeq12d 3691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)))
34		indifdir 3842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷))
35	34	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
37	33, 36	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
38	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷))
39	37, 38	eleq12d 2682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
40	39	3adant2 1073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
41	26, 40	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
42	41	3exp 1256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)))
43	42	rexlimdv 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
45	18, 44	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
46	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
47	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷 ∈ 𝑉)
48		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
49	46, 47, 1, 48	subsaliuncl 39252	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑇)
50	3, 10, 11, 45, 49	issalnnd 39239	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ℕcn 10897   ↾_t crest 15904  SAlgcsalg 39204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rest 15906  df-salg 39205

This theorem is referenced by:  subsaluni  39254  issmfltle  39622  issmflelem  39631  issmfle  39632  smfpimltxr  39634  smfconst  39636  issmfgtlem  39642  issmfgt  39643  smfaddlem2  39650  issmfgelem  39655  issmfge  39656  smfpimgtxr  39666  smfpimioompt  39671  smfresal  39673  smfrec  39674  smfmullem4  39679