Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct2 39233
Description: An example of a subset that does not belong to a non trivial sigma-algebra, see salexct 39228. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct2.1 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3 𝐵 = (0[,]1)
Assertion
Ref Expression
salexct2 ¬ 𝐵𝑆
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2
StepHypRef Expression
1 0xr 9965 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3 1re 9918 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
43rexri 9976 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
6 0lt1 10429 . . . . . . . 8 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 1)
8 salexct2.3 . . . . . . 7 𝐵 = (0[,]1)
92, 5, 7, 8iccnct 38615 . . . . . 6 (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
109trud 1484 . . . . 5 ¬ 𝐵 ≼ ω
11 2re 10967 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1211rexri 9976 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
14 1lt2 11071 . . . . . . . . 9 1 < 2
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
16 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1(,]2) = (1(,]2)
175, 13, 15, 16iocnct 38614 . . . . . . 7 (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
1817trud 1484 . . . . . 6 ¬ (1(,]2) ≼ ω
19 salexct2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
2019, 8difeq12i 3688 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
212, 5, 7xrltled 38427 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ≤ 1)
222, 5, 13, 21iccdificc 38613 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
2322trud 1484 . . . . . . . 8 ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
2420, 23eqtri 2632 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) = (1(,]2)
2524breq1i 4590 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
2618, 25mtbir 312 . . . . 5 ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω
2710, 26pm3.2i 470 . . . 4 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω)
28 ioran 510 . . . 4 (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω))
2927, 28mpbir 220 . . 3 ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)
3029intnan 951 . 2 ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω))
31 breq1 4586 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
32 difeq2 3684 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
3332breq1d 4593 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝐵) ≼ ω))
3431, 33orbi12d 742 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
35 salexct2.2 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
3634, 35elrab2 3333 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
3730, 36mtbir 312 1 ¬ 𝐵𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  {crab 2900  cdif 3537  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957  cdom 7839  0cc0 9815  1c1 9816  *cxr 9952   < clt 9953  2c2 10947  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-ntr 20634
This theorem is referenced by:  salexct3  39236  salgencntex  39237  salgensscntex  39238
  Copyright terms: Public domain W3C validator