Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct3 39236
 Description: An example of a sigma-algebra that's not closed under uncountable union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct3.a 𝐴 = (0[,]2)
salexct3.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct3.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
Assertion
Ref Expression
salexct3 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋𝑆 ∧ ¬ 𝑋𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem salexct3
StepHypRef Expression
1 salexct3.a . . . . . 6 𝐴 = (0[,]2)
2 ovex 6577 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . . . 5 𝐴 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
5 salexct3.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
64, 5salexct 39228 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
76trud 1484 . 2 𝑆 ∈ SAlg
8 salexct3.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
9 0re 9919 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
10 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
129leidi 10441 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
13 1le2 11118 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
1412, 13pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
15 iccss 12112 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
1611, 14, 15mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
1918, 1syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
20 snelpwi 4839 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
22 snfi 7923 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
23 fict 8433 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
25 orc 399 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2821, 27jca 553 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
30 difeq2 3684 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
3130breq1d 4593 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
3229, 31orbi12d 742 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
3332, 5elrab2 3333 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
3428, 33sylibr 223 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3534rgen 2906 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
36 eqid 2610 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3736rnmptss 6299 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3835, 37ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
398, 38eqsstri 3598 . 2 𝑋𝑆
408unieqi 4381 . . . . 5 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
41 snex 4835 . . . . . . . 8 {𝑦} ∈ V
4241rgenw 2908 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
43 dfiun3g 5299 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
4544eqcomi 2619 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
46 iunid 4511 . . . . 5 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
4740, 45, 463eqtrri 2637 . . . 4 (0[,]1) = 𝑋
4847eqcomi 2619 . . 3 𝑋 = (0[,]1)
491, 5, 48salexct2 39233 . 2 ¬ 𝑋𝑆
507, 39, 493pm3.2i 1232 1 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑋𝑆 ∧ ¬ 𝑋𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  2c2 10947  [,]cicc 12049  SAlgcsalg 39204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-ntr 20634  df-salg 39205 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator