Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repsdf2 13376
 Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsdf2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repsdf2
StepHypRef Expression
1 repsconst 13370 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))
21eqeq2d 2620 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
3 fconst2g 6373 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
43adantr 480 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
5 fconstfv 6381 . . . . . . . . 9 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
6 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆})
7 snssi 4280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆𝑉 → {𝑆} ⊆ 𝑉)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
106, 9jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉))
11 fss 5969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉)
12 iswrdi 13164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
14 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → 𝑊 Fn (0..^𝑁))
15 ffzo0hash 13090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 Fn (0..^𝑁)) → (#‘𝑊) = 𝑁)
1615expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) = 𝑁))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) = 𝑁))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (#‘𝑊) = 𝑁))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (#‘𝑊) = 𝑁))
2019imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (#‘𝑊) = 𝑁)
2113, 20jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
2221ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
235, 22syl5bir 232 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
2423expcomd 453 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))))
2524imp 444 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
26 wrdf 13165 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
27 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
28 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑁))
2928fneq2d 5896 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3029biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3130a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3231com13 86 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3326, 27, 323syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3433com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3534impd 446 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3635adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3725, 36impbid 201 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
3837ex 449 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))))
3938pm5.32rd 670 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
40 df-3an 1033 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
4139, 5, 403bitr4g 302 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
422, 4, 413bitr2d 295 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   repeatS creps 13153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-reps 13161 This theorem is referenced by:  repswsymball  13377  repswsymballbi  13378  cshwrepswhash1  15647
 Copyright terms: Public domain W3C validator