MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsdf2 Structured version   Unicode version

Theorem repsdf2 12855
Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsdf2  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  =  ( S repeatS  N )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  N  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S ) ) )
Distinct variable groups:    i, N    S, i    i, W
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem repsdf2
StepHypRef Expression
1 repsconst 12849 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  N )  =  ( ( 0..^ N )  X.  { S } ) )
21eqeq2d 2434 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  =  ( S repeatS  N )  <->  W  =  ( ( 0..^ N )  X.  { S } ) ) )
3 fconst2g 6125 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( W : ( 0..^ N ) --> { S }  <->  W  =  ( ( 0..^ N )  X.  { S } ) ) )
43adantr 466 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W : ( 0..^ N ) --> { S }  <->  W  =  ( ( 0..^ N )  X.  { S } ) ) )
5 fconstfv 6132 . . . . . . . . 9  |-  ( W : ( 0..^ N ) --> { S }  <->  ( W  Fn  ( 0..^ N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `
 i )  =  S ) )
6 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  W : ( 0..^ N ) --> { S } )  ->  W : ( 0..^ N ) --> { S }
)
7 snssi 4138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  V  ->  { S }  C_  V )
87adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  { S }  C_  V
)
98adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  W : ( 0..^ N ) --> { S } )  ->  { S }  C_  V
)
106, 9jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  W : ( 0..^ N ) --> { S } )  -> 
( W : ( 0..^ N ) --> { S }  /\  { S }  C_  V ) )
11 fss 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W : ( 0..^ N ) --> { S }  /\  { S }  C_  V )  ->  W : ( 0..^ N ) --> V )
12 iswrdi 12651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W : ( 0..^ N ) --> V  ->  W  e. Word  V )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  W : ( 0..^ N ) --> { S } )  ->  W  e. Word  V )
14 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W : ( 0..^ N ) --> { S }  ->  W  Fn  ( 0..^ N ) )
15 ffzo0hash 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  W  Fn  ( 0..^ N ) )  -> 
( # `  W )  =  N )
1615expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  Fn  ( 0..^ N )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  =  N ) )
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W : ( 0..^ N ) --> { S }  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  =  N ) )
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W : ( 0..^ N ) --> { S }  ->  ( # `  W
)  =  N ) )
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W : ( 0..^ N ) --> { S }  ->  ( # `
 W )  =  N ) )
2019imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  W : ( 0..^ N ) --> { S } )  -> 
( # `  W )  =  N )
2113, 20jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  W : ( 0..^ N ) --> { S } )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  N ) )
2221ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W : ( 0..^ N ) --> { S }  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  N ) ) )
235, 22syl5bir 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( W  Fn  ( 0..^ N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `
 i )  =  S )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  N ) ) )
2423expcomd 439 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S  -> 
( W  Fn  (
0..^ N )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  N ) ) ) )
2524imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S )  ->  ( W  Fn  ( 0..^ N )  -> 
( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  N ) ) )
26 wrdf 12652 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
27 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
28 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  =  N  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0..^ N ) )
2928fneq2d 5676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  W )  =  N  ->  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  W  Fn  (
0..^ N ) ) )
3029biimpd 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  W )  =  N  ->  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  W  Fn  ( 0..^ N ) ) )
3130a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  W )  =  N  ->  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  Fn  (
0..^ ( # `  W
) )  ->  W  Fn  ( 0..^ N ) ) ) )
3231com13 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  N  ->  W  Fn  ( 0..^ N ) ) ) )
3326, 27, 323syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  W )  =  N  ->  W  Fn  (
0..^ N ) ) ) )
3433com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e. Word  V  ->  ( ( # `  W
)  =  N  ->  W  Fn  ( 0..^ N ) ) ) )
3534impd 432 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  N )  ->  W  Fn  (
0..^ N ) ) )
3635adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  N )  ->  W  Fn  ( 0..^ N ) ) )
3725, 36impbid 193 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S )  ->  ( W  Fn  ( 0..^ N )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  N ) ) )
3837ex 435 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S  -> 
( W  Fn  (
0..^ N )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  N ) ) ) )
3938pm5.32rd 644 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( W  Fn  ( 0..^ N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `
 i )  =  S )  <->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `
 i )  =  S ) ) )
40 df-3an 984 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  N  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `
 i )  =  S )  <->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  N )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `
 i )  =  S ) )
4139, 5, 403bitr4g 291 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W : ( 0..^ N ) --> { S }  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  N  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S ) ) )
422, 4, 413bitr2d 284 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  =  ( S repeatS  N )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  N  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( W `  i
)  =  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773    C_ wss 3433   {csn 3993    X. cxp 4843    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528   NN0cn0 10858  ..^cfzo 11902   #chash 12501  Word cword 12632   repeatS creps 12639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-hash 12502  df-word 12640  df-reps 12647
This theorem is referenced by:  repswsymball  12856  repswsymballbi  12857  cshwrepswhash1  15025
  Copyright terms: Public domain W3C validator