Theorem qndenserrn 39195

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
qndenserrn	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn

Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		qndenserrn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
3	2	rrxtop 39185	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		reex 9906	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 11674	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		mapss 7786	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
12	1, 10, 11	rrxbasefi 39179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
13	12	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14		rrxtps 39180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
16	11, 15	tpsuni 20553	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
17	1, 14, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
18	2	unieqi 4381	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
19	18	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽)
21	13, 17, 20	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = ∪ 𝐽)
22	9, 21	sseqtrd 3604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
23		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
24	23	clsss3 20673	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
25	4, 22, 24	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
26	21	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
27	25, 26	sseqtrd 3604	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
28	1	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ 𝐽)
30	29, 2	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
31	30	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32		ne0i 3880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑣 → 𝑣 ≠ ∅)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
34	28, 15, 31, 33	qndenserrnopn 39194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣)
35		df-rex 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
36	34, 35	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
37		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑣)
38		simpl 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼))
39	37, 38	elind 3760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
41	40	eximdv 1833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
42	36, 41	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
43		n0 3890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
44	42, 43	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)
45	44	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
46	45	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
47	46	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
48	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
49	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
50		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
51	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = ∪ 𝐽)
52	50, 51	eleqtrd 2690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
53	23	elcls 20687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
54	48, 49, 52, 53	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
55	47, 54	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
56	55	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
57		dfss3 3558	. . 3 ⊢ ((ℝ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
58	56, 57	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
59	27, 58	eqssd 3585	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814  ℚcq 11664  Basecbs 15695  TopOpenctopn 15905  Topctop 20517  TopSpctps 20519  clsccl 20632  ℝ^crrx 22979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-phl 19790  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776  df-tch 22777  df-rrx 22981

This theorem is referenced by: (None)