Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssub 17352
 Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m 𝑀 = (-g𝑅)
pwssub.n = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssub (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 788 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐼𝑉)
2 pwsgrp.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 simpll 786 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6 simprl 790 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹𝐵)
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 15972 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
87ffvelrnda 6267 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9 fvex 6113 . . . . 5 ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)) ∈ V
109a1i 11 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
117feqmptd 6159 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
12 simprr 792 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺𝐵)
13 eqid 2610 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (invg𝑌) = (invg𝑌)
152, 4, 13, 14pwsinvg 17351 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
165, 1, 12, 15syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
172, 3, 4, 5, 1, 12pwselbas 15972 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1817ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1917feqmptd 6159 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
203, 13grpinvf 17289 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2120ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2221feqmptd 6159 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg𝑅)‘𝑦)))
23 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((invg𝑅)‘𝑦) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))
2418, 19, 22, 23fmptco 6303 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
2516, 24eqtrd 2644 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
261, 8, 10, 11, 25offval2 6812 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹𝑓 (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
272pwsgrp 17350 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
2827adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
294, 14grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
3028, 12, 29syl2anc 691 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
31 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
32 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
332, 4, 5, 1, 6, 30, 31, 32pwsplusgval 15973 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐹𝑓 (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)))
34 pwssub.m . . . . . 6 𝑀 = (-g𝑅)
353, 31, 13, 34grpsubval 17288 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
368, 18, 35syl2anc 691 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
3736mpteq2dva 4672 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
3826, 33, 373eqtr4d 2654 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
39 pwssub.n . . . 4 = (-g𝑌)
404, 32, 14, 39grpsubval 17288 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
4140adantl 481 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
421, 8, 18, 11, 19offval2 6812 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹𝑓 𝑀𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
4338, 41, 423eqtr4d 2654 1 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 𝑀𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   ↑s cpws 15930  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250 This theorem is referenced by:  evl1subd  19527  frlmsubgval  19927
 Copyright terms: Public domain W3C validator