Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsinvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsinvg 17351
 Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m 𝑀 = (invg𝑅)
pwsinvg.n 𝑁 = (invg𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsinvg ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simp2 1055 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐼𝑉)
3 fvex 6113 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
43a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
6 fconst6g 6007 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
8 eqid 2610 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9 eqid 2610 . . . 4 (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
10 simp3 1056 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
11 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
12 pwsgrp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
13 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1412, 13pwsval 15969 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15143adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1615fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1711, 16syl5eq 2656 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1810, 17eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
191, 2, 4, 7, 8, 9, 18prdsinvgd 17349 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))))
20 fvconst2g 6372 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
215, 20sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2221fveq2d 6107 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg𝑅))
23 pwsinvg.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝑅)
2422, 23syl6eqr 2662 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
2524fveq1d 6105 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥)) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
2625mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
2719, 26eqtrd 2644 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
28 pwsinvg.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
2915fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (invg𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3028, 29syl5eq 2656 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3130fveq1d 6105 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
32 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3312, 32, 11, 5, 2, 10pwselbas 15972 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3433ffvelrnda 6267 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3533feqmptd 6159 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
3632, 23grpinvf 17289 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
375, 36syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
3837feqmptd 6159 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀𝑦)))
39 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
4034, 35, 38, 39fmptco 6303 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
4127, 31, 403eqtr4d 2654 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  Xscprds 15929   ↑s cpws 15930  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249 This theorem is referenced by:  pwssub  17352
 Copyright terms: Public domain W3C validator