Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsplusgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsplusgval 15973
 Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsplusgval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
pwsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
pwsplusgval.a + = (+g𝑅)
pwsplusgval.p = (+g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsplusgval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))

Proof of Theorem pwsplusgval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 fvex 6113 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 pwsplusgval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
6 pwsplusgval.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
7 fnconstg 6006 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
9 pwsplusgval.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
10 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 15969 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
146, 5, 13syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1514fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1610, 15syl5eq 2656 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
179, 16eleqtrd 2690 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18 pwsplusgval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
1918, 16eleqtrd 2690 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
20 eqid 2610 . . . 4 (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsplusgval 15956 . . 3 (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))))
22 fvconst2g 6372 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
236, 22sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2423fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (+g𝑅))
25 pwsplusgval.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
2624, 25syl6eqr 2662 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = + )
2726oveqd 6566 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
2827mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2921, 28eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
30 pwsplusgval.p . . . 4 = (+g𝑌)
3114fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3230, 31syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3332oveqd 6566 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
34 fvex 6113 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
3534a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
36 fvex 6113 . . . 4 (𝐺𝑥) ∈ V
3736a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
38 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 15972 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4039feqmptd 6159 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 15972 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4241feqmptd 6159 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
435, 35, 37, 40, 42offval2 6812 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
4429, 33, 433eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  Xscprds 15929   ↑s cpws 15930 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-pws 15933 This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17192  pwsco1mhm  17193  pwsco2mhm  17194  pwssub  17352  pwssplit2  18881  mpfaddcl  19355  mpfind  19357  evl1addd  19526  pf1addcl  19538  frlmplusgval  19926  ply1rem  23727
 Copyright terms: Public domain W3C validator