MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsexp 15265
Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝐴𝑚) = (𝐴↑1))
21breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
32bibi1d 332 . . . . 5 (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴)))
43imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴))))
5 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑘))
65breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴𝑘)))
76bibi1d 332 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴)))
87imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴))))
9 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
1110bibi1d 332 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
1211imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
13 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑁))
1413breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴𝑁)))
1514bibi1d 332 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴)))
1615imbi2d 329 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))))
17 zcn 11259 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918exp1d 12865 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
2019breq2d 4595 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴))
21 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22 expp1 12729 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2318, 21, 22syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2423breq2d 4595 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
25 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27 zexpcl 12737 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
2826, 21, 27syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
29 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30 euclemma 15263 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
3224, 31bitrd 267 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
33 orbi1 738 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃𝐴𝑃𝐴)))
34 oridm 535 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐴𝑃𝐴) ↔ 𝑃𝐴)
3533, 34syl6bb 275 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴) ↔ 𝑃𝐴))
3635bibi2d 331 . . . . . . 7 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
3732, 36syl5ibcom 234 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
3837expcom 450 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
3938a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
404, 8, 12, 16, 20, 39nnind 10915 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴)))
4140impcom 445 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))
42413impa 1251 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cexp 12722  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  15266  rpexp  15270  pythagtriplem4  15362  lgsqr  24876  lgsqrmodndvds  24878  2sqlem3  24945  etransclem41  39168  lighneallem4  40065
  Copyright terms: Public domain W3C validator