Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexp Structured version   Unicode version

Theorem prmdvdsexp 14462
 Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexp

Proof of Theorem prmdvdsexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6285 . . . . . . 7
21breq2d 4406 . . . . . 6
32bibi1d 317 . . . . 5
43imbi2d 314 . . . 4
5 oveq2 6285 . . . . . . 7
65breq2d 4406 . . . . . 6
76bibi1d 317 . . . . 5
87imbi2d 314 . . . 4
9 oveq2 6285 . . . . . . 7
109breq2d 4406 . . . . . 6
1110bibi1d 317 . . . . 5
1211imbi2d 314 . . . 4
13 oveq2 6285 . . . . . . 7
1413breq2d 4406 . . . . . 6
1514bibi1d 317 . . . . 5
1615imbi2d 314 . . . 4
17 zcn 10909 . . . . . . 7
1817adantl 464 . . . . . 6
1918exp1d 12347 . . . . 5
2019breq2d 4406 . . . 4
21 nnnn0 10842 . . . . . . . . . 10
22 expp1 12215 . . . . . . . . . 10
2318, 21, 22syl2an 475 . . . . . . . . 9
2423breq2d 4406 . . . . . . . 8
25 simpll 752 . . . . . . . . 9
26 simpr 459 . . . . . . . . . 10
27 zexpcl 12223 . . . . . . . . . 10
2826, 21, 27syl2an 475 . . . . . . . . 9
29 simplr 754 . . . . . . . . 9
30 euclemma 14456 . . . . . . . . 9
3125, 28, 29, 30syl3anc 1230 . . . . . . . 8
3224, 31bitrd 253 . . . . . . 7
33 orbi1 704 . . . . . . . . 9
34 oridm 512 . . . . . . . . 9
3533, 34syl6bb 261 . . . . . . . 8
3635bibi2d 316 . . . . . . 7
3732, 36syl5ibcom 220 . . . . . 6
3837expcom 433 . . . . 5
3938a2d 26 . . . 4
404, 8, 12, 16, 20, 39nnind 10593 . . 3
4140impcom 428 . 2
42413impa 1192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277  cc 9519  c1 9522   caddc 9524   cmul 9526  cn 10575  cn0 10835  cz 10904  cexp 12208   cdvds 14193  cprime 14424 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425 This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  14463  rpexp  14468  pythagtriplem4  14550  lgsqr  24000  2sqlem3  24020  etransclem41  37407
 Copyright terms: Public domain W3C validator