Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pntlem3.r |
. . . . . 6
⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦
((ψ‘𝑎) −
𝑎)) |
2 | | pntlem3.a |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ+) |
3 | | pntlemp.b |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ+) |
4 | | pntlemp.l |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1)) |
5 | | pntlemp.d |
. . . . . 6
⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1) |
6 | | pntlemp.f |
. . . . . 6
⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2))) |
7 | | pntlemp.u |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈
ℝ+) |
8 | | pntlemp.u2 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴) |
9 | | pntlemp.e |
. . . . . 6
⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷) |
10 | | pntlemp.k |
. . . . . 6
⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸)) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | pntlemc 25084 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+
∧ (𝐸 ∈ (0(,)1)
∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈
ℝ+))) |
12 | 11 | simp3d 1068 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈
ℝ+)) |
13 | 12 | simp1d 1066 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1)) |
14 | | pntlemp.K |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) |
15 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐵 / 𝑒) = (𝐵 / 𝐸)) |
16 | 15 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = (exp‘(𝐵 / 𝐸))) |
17 | 16, 10 | syl6eqr 2662 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (exp‘(𝐵 / 𝑒)) = 𝐾) |
18 | 17 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞) = (𝐾[,)+∞)) |
19 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐿 · 𝑒) = (𝐿 · 𝐸)) |
20 | 19 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (1 + (𝐿 · 𝑒)) = (1 + (𝐿 · 𝐸))) |
21 | 20 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) |
22 | 21 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))) |
23 | 22 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))) |
24 | 21 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))) |
25 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
26 | 24, 25 | raleqbidv 3129 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
27 | 23, 26 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
28 | 27 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
29 | 28 | ralbidv 2969 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
30 | 18, 29 | raleqbidv 3129 |
. . . . . 6
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
31 | 30 | rexbidv 3034 |
. . . . 5
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
32 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑡 → (𝑥(,)+∞) = (𝑡(,)+∞)) |
33 | 32 | raleqdv 3121 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
34 | 33 | ralbidv 2969 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
35 | 34 | cbvrexv 3148 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
36 | 31, 35 | syl6bb 275 |
. . . 4
⊢ (𝑒 = 𝐸 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
37 | 36 | rspcva 3280 |
. . 3
⊢ ((𝐸 ∈ (0(,)1) ∧
∀𝑒 ∈
(0(,)1)∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
38 | 13, 14, 37 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
39 | | pntlemp.y |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤
𝑌)) |
40 | 39 | simpld 474 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈
ℝ+) |
41 | 40 | rpred 11748 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
42 | 39 | simprd 478 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑌) |
43 | 1 | pntrlog2bnd 25073 |
. . 3
⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 1 ≤
𝑌) → ∃𝑐 ∈ ℝ+
∀𝑧 ∈
(1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) |
44 | 41, 42, 43 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈
(1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) |
45 | | reeanv 3086 |
. . 3
⊢
(∃𝑡 ∈
ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) ↔ (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈
(1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐)) |
46 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐴 ∈
ℝ+) |
47 | 3 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐵 ∈
ℝ+) |
48 | 4 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝐿 ∈ (0(,)1)) |
49 | 7 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ∈
ℝ+) |
50 | 8 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑈 ≤ 𝐴) |
51 | 39 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤
𝑌)) |
52 | | simpl 472 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ+
∧ 𝑐 ∈
ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+) |
53 | | rpaddcl 11730 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑌 ∈ ℝ+
∧ 𝑡 ∈
ℝ+) → (𝑌 + 𝑡) ∈
ℝ+) |
54 | 40, 52, 53 | syl2an 493 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ (𝑌 + 𝑡) ∈
ℝ+) |
55 | | ltaddrp 11743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ+)
→ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)) |
56 | 41, 52, 55 | syl2an 493 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡)) |
57 | 54, 56 | jca 553 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+
∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))) |
58 | 57 | adantrr 749 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < (𝑌 + 𝑡))) |
59 | | simprlr 799 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ ℝ+) |
60 | | eqid 2610 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐))))) = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + ((((𝑌 + 𝑡) · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝑐))))) |
61 | | pntlemp.U |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈) |
62 | 61 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈) |
63 | | rpxr 11716 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ ℝ+
→ 𝑡 ∈
ℝ*) |
64 | 63 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ 𝑡 ∈
ℝ*) |
65 | | rpre 11715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 ∈ ℝ+
→ 𝑡 ∈
ℝ) |
66 | 65 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ 𝑡 ∈
ℝ) |
67 | 54 | rpred 11748 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ (𝑌 + 𝑡) ∈
ℝ) |
68 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ 𝑌 ∈
ℝ+) |
69 | 66, 68 | ltaddrp2d 11782 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ 𝑡 < (𝑌 + 𝑡)) |
70 | 66, 67, 69 | ltled 10064 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡)) |
71 | | iooss1 12081 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ*
∧ 𝑡 ≤ (𝑌 + 𝑡)) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞)) |
72 | 64, 70, 71 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞)) |
73 | 72 | adantrr 749 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞)) |
74 | | simprrl 800 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
75 | | ssralv 3629 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
76 | 75 | ralimdv 2946 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑌 + 𝑡)(,)+∞) ⊆ (𝑡(,)+∞) → (∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) |
77 | 73, 74, 76 | sylc 63 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((𝑌 + 𝑡)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) |
78 | | simprrr 801 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) |
79 | 1, 46, 47, 48, 5, 6, 49, 50, 9, 10, 51, 58, 59, 60, 62, 77, 78 | pntleme 25097 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+)
∧ (∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))) |
80 | 79 | expr 641 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+))
→ ((∀𝑘 ∈
(𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))) |
81 | 80 | rexlimdvva 3020 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ+
(∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∀𝑧 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))) |
82 | 45, 81 | syl5bir 232 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((∃𝑡 ∈ ℝ+
∀𝑘 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑡(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈
(1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑧)) · (log‘𝑧)) − ((2 / (log‘𝑧)) · Σ𝑛 ∈
(1...(⌊‘(𝑧 /
𝑌)))((abs‘(𝑅‘(𝑧 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑧) ≤ 𝑐) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3))))) |
83 | 38, 44, 82 | mp2and 711 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑈 − (𝐹 · (𝑈↑3)))) |