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Theorem pntlemp 21257
Description: Lemma for pnt 21261. Wrapping up more quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntlem3.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntlem3.A  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x ) )  <_  A )
pntlemp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntlemp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntlemp.d  |-  D  =  ( A  +  1 )
pntlemp.f  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
pntlemp.K  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
pntlemp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
pntlemp.u2  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
pntlemp.e  |-  E  =  ( U  /  D
)
pntlemp.k  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
pntlemp.y  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
pntlemp.U  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
Assertion
Ref Expression
pntlemp  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, x, y, z, A    e,
a, k, u, v, w, x, y, z, D    v, F, w, y, z    e, K, k, v, w, x, y, z    R, e, k, u, v, w, x, y, z    E, a, e, k, u, v, w, x, y, z    Y, a, k, v, w, y, z    e, L, k, u, v, w, x, y, z    ph, v, w, x, y    B, e, k, v, w, x, y, z    v, U, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, u, e, k, a)    A( u, e, k, a)    B( u, a)    R( a)    U( x, y, u, e, k, a)    F( x, u, e, k, a)    K( u, a)    L( a)    Y( x, u, e)

Proof of Theorem pntlemp
Dummy variables  t 
c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
2 pntlem3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3 pntlemp.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4 pntlemp.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
5 pntlemp.d . . . . . 6  |-  D  =  ( A  +  1 )
6 pntlemp.f . . . . . 6  |-  F  =  ( ( 1  -  ( 1  /  D
) )  x.  (
( L  /  (; 3 2  x.  B ) )  /  ( D ^
2 ) ) )
7 pntlemp.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
8 pntlemp.u2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <_  A )
9 pntlemp.e . . . . . 6  |-  E  =  ( U  /  D
)
10 pntlemp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( exp `  ( B  /  E ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 21242 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR+  /\  K  e.  RR+  /\  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E )  e.  RR+ ) ) )
1211simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  1  <  K  /\  ( U  -  E
)  e.  RR+ )
)
1312simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
14 pntlemp.K . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )
15 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( B  /  e )  =  ( B  /  E
) )
1615fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  ( exp `  ( B  / 
e ) )  =  ( exp `  ( B  /  E ) ) )
1716, 10syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( exp `  ( B  / 
e ) )  =  K )
1817oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( e  =  E  ->  (
( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo )  =  ( K [,)  +oo )
)
19 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  E  ->  ( L  x.  e )  =  ( L  x.  E ) )
2019oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  E  ->  (
1  +  ( L  x.  e ) )  =  ( 1  +  ( L  x.  E
) ) )
2120oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  E  ->  (
( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  =  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) )
2221breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y )  <->  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) )
2322anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  <->  ( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) ) ) )
2421oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) )  =  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) )
25 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
2624, 25raleqbidv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( A. u  e.  (
z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  e  <->  A. u  e.  ( z [,] (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  (
( R `  u
)  /  u ) )  <_  E )
)
2723, 26anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
2827rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  E. z  e.  RR+  ( ( y  <  z  /\  (
( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
2928ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( e  =  E  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  e )  <->  A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3018, 29raleqbidv 2876 . . . . . 6  |-  ( e  =  E  ->  ( A. k  e.  (
( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
3130rexbidv 2687 . . . . 5  |-  ( e  =  E  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
32 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( t (,)  +oo ) )
3332raleqdv 2870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( A. y  e.  (
x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  <->  A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3433ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  <->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) ) )
3534cbvrexv 2893 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  <->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
3631, 35syl6bb 253 . . . 4  |-  ( e  =  E  ->  ( E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
)  <->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
3736rspcva 3010 . . 3  |-  ( ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  A. e  e.  ( 0 (,) 1 ) E. x  e.  RR+  A. k  e.  ( ( exp `  ( B  /  e ) ) [,)  +oo ) A. y  e.  ( x (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  e ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  e
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  e
) )  ->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
3813, 14, 37syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) )
39 pntlemp.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y )
)
4039simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
4140rpred 10604 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4239simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
431pntrlog2bnd 21231 . . 3  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y )  ->  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
4441, 42, 43syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
45 reeanv 2835 . . 3  |-  ( E. t  e.  RR+  E. c  e.  RR+  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  <->  ( E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  E. c  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) )
462adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
473adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
484adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  L  e.  ( 0 (,) 1 ) )
497adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  U  e.  RR+ )
508adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  U  <_  A
)
5139adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( Y  e.  RR+  /\  1  <_  Y
) )
52 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
53 rpaddcl 10588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR+  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR+ )
5440, 52, 53syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR+ )
55 ltaddrp 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  t  e.  RR+ )  ->  Y  <  ( Y  +  t ) )
5641, 52, 55syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  Y  <  ( Y  +  t ) )
5754, 56jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( Y  +  t )  e.  RR+  /\  Y  <  ( Y  +  t ) ) )
5857adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( ( Y  +  t )  e.  RR+  /\  Y  <  ( Y  +  t )
) )
59 simprlr 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
60 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( Y  +  t )  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  c ) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  +  ( 4  /  ( L  x.  E ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( Y  +  t )  x.  ( K ^ 2 ) ) ^ 4 )  +  ( exp `  (
( (; 3 2  x.  B
)  /  ( ( U  -  E )  x.  ( L  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( U  x.  3 )  +  c ) ) ) ) )
61 pntlemp.U . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
6261adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. z  e.  ( Y [,)  +oo )
( abs `  (
( R `  z
)  /  z ) )  <_  U )
63 rpxr 10575 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR+  ->  t  e. 
RR* )
6463ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  e.  RR* )
65 rpre 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  RR+  ->  t  e.  RR )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  e.  RR )
6754rpred 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  ( Y  +  t )  e.  RR )
6840adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  RR+ )
6966, 68ltaddrp2d 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  <  ( Y  +  t ) )
7066, 67, 69ltled 9177 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  t  <_  ( Y  +  t ) )
71 iooss1 10907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  RR*  /\  t  <_  ( Y  +  t ) )  ->  (
( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo ) )
7264, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo ) )
7372adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  ( ( Y  +  t ) (,) 
+oo )  C_  (
t (,)  +oo ) )
74 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
75 ssralv 3367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo )  ->  ( A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  ->  A. y  e.  ( ( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
7675ralimdv 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  +  t ) (,)  +oo )  C_  ( t (,)  +oo )  ->  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( ( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
) ) )
7773, 74, 76sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
( Y  +  t ) (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E ) )
78 simprrr 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo )
( ( ( ( abs `  ( R `
 z ) )  x.  ( log `  z
) )  -  (
( 2  /  ( log `  z ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )
791, 46, 47, 48, 5, 6, 49, 50, 9, 10, 51, 58, 59, 60, 62, 77, 78pntleme 21255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  ( ( y  < 
z  /\  ( (
1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z )  < 
( k  x.  y
) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u
) )  <_  E
)  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) )
8079expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  RR+  /\  c  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
)  <  ( k  x.  y ) )  /\  A. u  e.  ( z [,] ( ( 1  +  ( L  x.  E ) )  x.  z ) ) ( abs `  ( ( R `  u )  /  u ) )  <_  E )  /\  A. z  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  z )
)  x.  ( log `  z ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  z
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
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8180rexlimdvva 2797 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  E. c  e.  RR+  ( A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  (
t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
) )  x.  z
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( log `  z
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z  /  Y ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( z  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  z )  <_ 
c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
( R `  v
)  /  v ) )  <_  ( U  -  ( F  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
8245, 81syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. t  e.  RR+  A. k  e.  ( K [,)  +oo ) A. y  e.  ( t (,)  +oo ) E. z  e.  RR+  (
( y  <  z  /\  ( ( 1  +  ( L  x.  E
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c )  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  (
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8338, 44, 82mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR+  A. v  e.  ( w [,)  +oo ) ( abs `  ( ( R `  v )  /  v
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007  ;cdc 10338   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   |_cfl 11156   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   expce 12619   logclog 20405  ψcchp 20828
This theorem is referenced by:  pntleml  21258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835  df-mu 20836
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