Theorem numclwwlk3lem 26635

Description: Lemma for numclwwlk3 26636. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem	⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑄   𝑤,𝐺   𝑣,𝐸   𝑣,𝐻,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑣,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1056	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eluzge2nn0 11603	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		numclwwlk.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
4		numclwwlk.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
5	3, 4	numclwwlkovf 26608	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
6	1, 2, 5	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
7	6	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
8		pm4.42 995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
9		nne 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
10	9	anbi2i 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
11	10	orbi2i 540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
12	8, 11	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
14	13	rabbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))})
15		unrab 3857	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
16	14, 15	syl6eqr 2662	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
17	16	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (#‘({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
18	3	numclwwlkfvc 26604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
19	2, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
21		simpl2 1058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑉 ∈ Fin)
22		usgrav 25867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
23	22	simprd 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸 ∈ V)
24	23	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ V)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐸 ∈ V)
26	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		clwwlknfi 26306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∈ Fin)
28	21, 25, 26, 27	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∈ Fin)
29	20, 28	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)
30		rabfi 8070	. . . . 5 ⊢ ((𝐶‘𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
32		rabfi 8070	. . . . 5 ⊢ ((𝐶‘𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
33	29, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
34		inrab 3858	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
35		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
36	35	biimpi 205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
38	37	intnand 953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
39	38	imori 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
40		ianor 508	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) ↔ (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
41	39, 40	mpbir 220	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
43	42	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
44		rabeq0 3911	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
45	43, 44	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅)
46	34, 45	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅)
47		hashun 13032	. . . 4 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ ({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅) → (#‘({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
48	31, 33, 46, 47	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘({𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
49	7, 17, 48	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
50		numclwwlk.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
51		numclwwlk.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
52		numclwwlk.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
53	3, 4, 50, 51, 52	numclwwlkovh 26628	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
54	1, 2, 53	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
55	54	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
56	3, 4, 50	numclwwlkovg 26614	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
57	1, 56	sylan 487	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
58	57	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐺𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
59	55, 58	oveq12d 6567	. 2 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
60	49, 59	eqtr4d 2647	1 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  #chash 12979   lastS clsw 13147   USGrph cusg 25859   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  26636