Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulc1cncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncfg 38656
 Description: A version of mulc1cncf 22516 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulc1cncfg.1 𝑥𝐹
mulc1cncfg.2 𝑥𝜑
mulc1cncfg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
mulc1cncfg.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulc1cncfg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulc1cncfg.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
32mulc1cncf 22516 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 cncff 22504 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7 mulc1cncfg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
8 cncff 22504 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
10 fcompt 6306 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
116, 9, 10syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
129fnvinran 38196 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
131adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 12mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
15 mulc1cncfg.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
16 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
1715, 16nffv 6110 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑡)
18 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑥𝐵
19 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑥 ·
2018, 19, 17nfov 6575 . . . . . . 7 𝑥(𝐵 · (𝐹𝑡))
21 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2217, 20, 21, 2fvmptf 6209 . . . . . 6 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2312, 14, 22syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2423mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))))
25 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑡𝐵
26 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑡 ·
27 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑥)
2825, 26, 27nfov 6575 . . . . 5 𝑡(𝐵 · (𝐹𝑥))
29 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑥 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
3029oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3120, 28, 30cbvmpt 4677 . . . 4 (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3224, 31syl6eq 2660 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
3311, 32eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
347, 4cncfco 22518 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3533, 34eqeltrrd 2689 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-cncf 22489 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator