Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem8 20244
 Description: Lemma for mdetuni 20247. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem8.id (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝜑)
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 enrefg 7873 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → 𝑁𝑁)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑁)
5 f1finf1o 8072 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑁𝑁 ∈ Fin) → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
64, 2, 5syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
76biimpa 500 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
109matring 20068 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
112, 8, 10syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
13 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (1r𝐴) = (1r𝐴)
1412, 13ringidcl 18391 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
17 mdetuni.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
19 mdetuni.1r . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
20 mdetuni.pg . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
21 mdetuni.tg . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
22 mdetuni.ff . . . . . . 7 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
23 mdetuni.al . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
24 mdetuni.li . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
25 mdetuni.sc . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 20243 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
271, 7, 16, 26syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))))
282adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
29283ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
308adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
31303ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simp1r 1079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
33 f1f 6014 . . . . . . . . . 10 (𝐸:𝑁1-1𝑁𝐸:𝑁𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐸:𝑁𝑁)
35 simp2 1055 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3634, 35ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐸𝑎) ∈ 𝑁)
37 simp3 1056 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 20073 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
3938mpt2eq3dva 6617 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
4039fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ ((𝐸𝑎)(1r𝐴)𝑏))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(1r𝐴)) = 0 )
4342oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ))
44 zrhpsgnmhm 19749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
458, 2, 44syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
46 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4847, 17mgpbas 18318 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4946, 48mhmf 17163 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
52 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5352, 46elsymgbas 17625 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ Fin → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↔ 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁))
557, 54mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5651, 55ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾)
5717, 21, 18ringrz 18411 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5830, 56, 57syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · 0 ) = 0 )
5943, 58eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝐸) · (𝐷‘(1r𝐴))) = 0 )
6027, 40, 593eqtr3d 2652 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁1-1𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
6160ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
6261adantr 480 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
63 ibar 524 . . . . . . 7 (𝐸:𝑁𝑁 → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
6463adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))))
65 dff13 6416 . . . . . 6 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
6664, 65syl6rbbr 278 . . . . 5 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
6766notbid 307 . . . 4 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
68 rexnal 2978 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
69 rexnal 2978 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
70 df-ne 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝑑 ↔ ¬ 𝑐 = 𝑑)
7170anbi2i 726 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑))
72 annim 440 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ ¬ 𝑐 = 𝑑) ↔ ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
7371, 72bitr2i 264 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7473rexbii 3023 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑁 ¬ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7569, 74bitr3i 265 . . . . . 6 (¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7675rexbii 3023 . . . . 5 (∃𝑐𝑁 ¬ ∀𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7768, 76bitr3i 265 . . . 4 (¬ ∀𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → 𝑐 = 𝑑) ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))
7867, 77syl6bb 275 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ ∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑)))
79 simprrl 800 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐸𝑐) = (𝐸𝑑))
80 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑐 → (𝐸𝑎) = (𝐸𝑐))
8180eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑐 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
8281ifbid 4058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
83 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
8482, 83eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
85 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 = 𝑐 → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
86 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑑 → (𝐸𝑎) = (𝐸𝑑))
8786eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐸𝑎) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑑) = 𝑏))
8887ifbid 4058 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
89 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ))
9088, 89eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
91 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑎 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
9291eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 = 𝑑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
9390, 92pm2.61i 175 . . . . . . . . . . . 12 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))
9485, 93syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . 11 𝑎 = 𝑐 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
9584, 94pm2.61i 175 . . . . . . . . . 10 if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
96 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑑) = (𝐸𝑐) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9796eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → ((𝐸𝑑) = 𝑏 ↔ (𝐸𝑐) = 𝑏))
9897ifbid 4058 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ) = if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ))
9998ifeq1d 4054 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))
10099ifeq2d 4055 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑑) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
10195, 100syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) = if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))
102101mpt2eq3dv 6619 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 )))))
103102fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
10479, 103syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))))
105 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝜑)
106 simprll 798 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑁)
107 simprlr 799 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑑𝑁)
108 simprrr 801 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → 𝑐𝑑)
109106, 107, 1083jca 1235 . . . . . . 7 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝑐𝑁𝑑𝑁𝑐𝑑))
11017, 19ringidcl 18391 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐾)
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑1𝐾)
11217, 18ring0cl 18392 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
1138, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
114111, 113ifcld 4081 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
115114ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑏𝑁) → if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
116 simp1ll 1117 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝜑)
117111, 113ifcld 4081 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
118116, 117syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ) ∈ 𝐾)
1199, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 105, 109, 115, 118mdetunilem2 20238 . . . . . 6 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑐, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if(𝑎 = 𝑑, if((𝐸𝑐) = 𝑏, 1 , 0 ), if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))))) = 0 )
120104, 119eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ ((𝑐𝑁𝑑𝑁) ∧ ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
121120expr 641 . . . 4 (((𝜑𝐸:𝑁𝑁) ∧ (𝑐𝑁𝑑𝑁)) → (((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
122121rexlimdvva 3020 . . 3 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (∃𝑐𝑁𝑑𝑁 ((𝐸𝑐) = (𝐸𝑑) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12378, 122sylbid 229 . 2 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (¬ 𝐸:𝑁1-1𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 ))
12462, 123pm2.61d 169 1 ((𝜑𝐸:𝑁𝑁) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if((𝐸𝑎) = 𝑏, 1 , 0 ))) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ∘𝑓 cof 6793   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   MndHom cmhm 17156  SymGrpcsymg 17620  pmSgncpsgn 17732  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  ℤRHomczrh 19667   Mat cmat 20032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-evpm 17735  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033 This theorem is referenced by:  mdetunilem9  20245
 Copyright terms: Public domain W3C validator