MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Unicode version

Theorem mdetunilem8 19581
Description: Lemma for mdetuni 19584. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem8.id  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  ph )
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 enrefg 7599 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  ~~  N )
42, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  ~~  N )
5 f1finf1o 7795 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  ~~  N  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
64, 2, 5syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
76biimpa 486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
109matring 19405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
112, 8, 10syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Ring )
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
13 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
1412, 13ringidcl 17742 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1511, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
1615adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
17 mdetuni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
19 mdetuni.1r . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
20 mdetuni.pg . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
21 mdetuni.tg . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
22 mdetuni.ff . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
23 mdetuni.al . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
24 mdetuni.li . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
25 mdetuni.sc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 19580 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
-1-1-onto-> N  /\  ( 1r `  A )  e.  B
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
271, 7, 16, 26syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
282adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  N  e.  Fin )
29283ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
308adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  R  e.  Ring )
31303ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
32 simp1r 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N -1-1-> N
)
33 f1f 5787 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : N -1-1-> N  ->  E : N --> N )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N --> N )
35 simp2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3634, 35ffvelrnd 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( E `  a
)  e.  N )
37 simp3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  b  e.  N )
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 19410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b )  =  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
3938mpt2eq3dva 6360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
4039fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4241adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4342oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  ) )
44 zrhpsgnmhm 19089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
458, 2, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
46 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
47 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
4847, 17mgpbas 17670 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4946, 48mhmf 16539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
5150adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
52 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5352, 46elsymgbas 16975 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  <->  E : N -1-1-onto-> N ) )
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( E  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  <->  E : N
-1-1-onto-> N ) )
557, 54mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )
5651, 55ffvelrnd 6029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)
5717, 21, 18ringrz 17759 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5830, 56, 57syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5943, 58eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
6027, 40, 593eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
6160ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
6261adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
63 ibar 506 . . . . . . 7  |-  ( E : N --> N  -> 
( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  ->  c  =  d )  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) ) )
6463adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( E : N
--> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) ) )
65 dff13 6165 . . . . . 6  |-  ( E : N -1-1-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) )
6664, 65syl6rbbr 267 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  <->  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
6766notbid 295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
68 rexnal 2871 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  -.  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
69 rexnal 2871 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
70 df-ne 2618 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  d  <->  -.  c  =  d )
7170anbi2i 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d )  <->  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  -.  c  =  d )
)
72 annim 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  -.  c  =  d
)  <->  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
7371, 72bitr2i 253 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  /\  c  =/=  d ) )
7473rexbii 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7569, 74bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7675rexbii 2925 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7768, 76bitr3i 254 . . . 4  |-  ( -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7867, 77syl6bb 264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )
79 simprrl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( E `  c )  =  ( E `  d ) )
80 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
8180eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
8281ifbid 3928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
83 iftrue 3912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
8482, 83eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
85 iffalse 3915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
86 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
8786eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  d )  =  b ) )
8887ifbid 3928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
89 iftrue 3912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9088, 89eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
91 iffalse 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9291eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
9390, 92pm2.61i 167 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9485, 93syl6reqr 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
9584, 94pm2.61i 167 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
96 eqeq1 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  d )  =  ( E `  c )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9796eqcoms 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9897ifbid 3928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
9998ifeq1d 3924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099ifeq2d 3925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
10195, 100syl5eq 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
102101mpt2eq3dv 6362 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
103102fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
10479, 103syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
105 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ph )
106 simprll 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  e.  N )
107 simprlr 771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  d  e.  N )
108 simprrr 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  =/=  d )
109106, 107, 1083jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )
11017, 19ringidcl 17742 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  K )
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .1.  e.  K )
11217, 18ring0cl 17743 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
1138, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
114111, 113ifcld 3949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
115114ad3antrrr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
116 simp1ll 1068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ph )
117111, 113ifcld 3949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
118116, 117syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
1199, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 105, 109, 115, 118mdetunilem2 19575 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  .0.  )
120104, 119eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
121120expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( c  e.  N  /\  d  e.  N
) )  ->  (
( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
122121rexlimdvva 2922 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12378, 122sylbid 218 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12462, 123pm2.61d 161 1  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    \ cdif 3430   ifcif 3906   {csn 3993   class class class wbr 4417    X. cxp 4843    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5588   -1-1->wf1 5589   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oFcof 6534    ~~ cen 7565   Fincfn 7568   Basecbs 15081   +g cplusg 15150   .rcmulr 15151   0gc0g 15298   MndHom cmhm 16532   SymGrpcsymg 16970  pmSgncpsgn 17082  mulGrpcmgp 17664   1rcur 17676   Ringcrg 17721   ZRHomczrh 19008   Mat cmat 19369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-word 12640  df-lsw 12641  df-concat 12642  df-s1 12643  df-substr 12644  df-splice 12645  df-reverse 12646  df-s2 12918  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-hom 15174  df-cco 15175  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-prds 15306  df-pws 15308  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mulg 16628  df-subg 16766  df-ghm 16833  df-gim 16875  df-cntz 16923  df-oppg 16949  df-symg 16971  df-pmtr 17035  df-psgn 17084  df-evpm 17085  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-cring 17724  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-dvr 17852  df-rnghom 17884  df-drng 17918  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-sra 18336  df-rgmod 18337  df-cnfld 18912  df-zring 18980  df-zrh 19012  df-dsmm 19232  df-frlm 19247  df-mamu 19346  df-mat 19370
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  19582
  Copyright terms: Public domain W3C validator