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Theorem mdetunilem8 18928
Description: Lemma for mdetuni 18931. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem8.id  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  ph )
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 enrefg 7548 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  ~~  N )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  ~~  N )
5 f1finf1o 7747 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  ~~  N  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
64, 2, 5syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
76biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
109matrng 18752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
112, 8, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Ring )
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
1412, 13rngidcl 17032 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1511, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
17 mdetuni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
19 mdetuni.1r . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
20 mdetuni.pg . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
21 mdetuni.tg . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
22 mdetuni.ff . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
23 mdetuni.al . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
24 mdetuni.li . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
25 mdetuni.sc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 18927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
-1-1-onto-> N  /\  ( 1r `  A )  e.  B
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
271, 7, 16, 26syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
282adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  N  e.  Fin )
29283ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
308adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  R  e.  Ring )
31303ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
32 simp1r 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N -1-1-> N
)
33 f1f 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : N -1-1-> N  ->  E : N --> N )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N --> N )
35 simp2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3634, 35ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( E `  a
)  e.  N )
37 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  b  e.  N )
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 18757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b )  =  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
3938mpt2eq3dva 6346 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
4039fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4241adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4342oveq2d 6301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  ) )
44 zrhpsgnmhm 18427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
458, 2, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
47 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
4847, 17mgpbas 16961 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4946, 48mhmf 15794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
5045, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
52 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5352, 46elsymgbas 16221 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  <->  E : N -1-1-onto-> N ) )
5428, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( E  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  <->  E : N
-1-1-onto-> N ) )
557, 54mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )
5651, 55ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)
5717, 21, 18rngrz 17049 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5830, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5943, 58eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
6027, 40, 593eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
6160ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
6261adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
63 ibar 504 . . . . . . 7  |-  ( E : N --> N  -> 
( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  ->  c  =  d )  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( E : N
--> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) ) )
65 dff13 6155 . . . . . 6  |-  ( E : N -1-1-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) )
6664, 65syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  <->  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
6766notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
68 rexnal 2912 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  -.  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
69 rexnal 2912 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
70 df-ne 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  d  <->  -.  c  =  d )
7170anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d )  <->  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  -.  c  =  d )
)
72 annim 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  -.  c  =  d
)  <->  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
7371, 72bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  /\  c  =/=  d ) )
7473rexbii 2965 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7569, 74bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7675rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7768, 76bitr3i 251 . . . 4  |-  ( -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7867, 77syl6bb 261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )
79 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( E `  c )  =  ( E `  d ) )
80 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
8180eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
8281ifbid 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
83 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
8482, 83eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
85 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
86 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
8786eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  d )  =  b ) )
8887ifbid 3961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
89 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9088, 89eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
91 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9291eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
9390, 92pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9485, 93syl6reqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
9584, 94pm2.61i 164 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
96 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  d )  =  ( E `  c )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9796eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9897ifbid 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
9998ifeq1d 3957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099ifeq2d 3958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
10195, 100syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
102101mpt2eq3dv 6348 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
103102fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
10479, 103syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
105 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ph )
106 simprll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  e.  N )
107 simprlr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  d  e.  N )
108 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  =/=  d )
109106, 107, 1083jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )
11017, 19rngidcl 17032 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  K )
1118, 110syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .1.  e.  K )
11217, 18rng0cl 17033 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
1138, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
114111, 113ifcld 3982 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
115114ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
116 simp1ll 1059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ph )
117111, 113ifcld 3982 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
118116, 117syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
1199, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 105, 109, 115, 118mdetunilem2 18922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  .0.  )
120104, 119eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
121120expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( c  e.  N  /\  d  e.  N
) )  ->  (
( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
122121rexlimdvva 2962 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12378, 122sylbid 215 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12462, 123pm2.61d 158 1  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287    oFcof 6523    ~~ cen 7514   Fincfn 7517   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   .rcmulr 14559   0gc0g 14698   MndHom cmhm 15787   SymGrpcsymg 16216  pmSgncpsgn 16329  mulGrpcmgp 16955   1rcur 16967   Ringcrg 17012   ZRHomczrh 18344   Mat cmat 18716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511  df-s1 12512  df-substr 12513  df-splice 12514  df-reverse 12515  df-s2 12779  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-gim 16121  df-cntz 16169  df-oppg 16195  df-symg 16217  df-pmtr 16282  df-psgn 16331  df-evpm 16332  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-rnghom 17177  df-drng 17210  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zrh 18348  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mamu 18693  df-mat 18717
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