MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mdetunilem8 19699
Description: Lemma for mdetuni 19702. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem8.id  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  ph )
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 enrefg 7632 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  ~~  N )
42, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  ~~  N )
5 f1finf1o 7829 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  ~~  N  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
64, 2, 5syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
76biimpa 491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
109matring 19523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
112, 8, 10syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Ring )
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
13 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
1412, 13ringidcl 17856 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1511, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
1615adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
17 mdetuni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
19 mdetuni.1r . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
20 mdetuni.pg . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
21 mdetuni.tg . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
22 mdetuni.ff . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
23 mdetuni.al . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
24 mdetuni.li . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
25 mdetuni.sc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 19698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
-1-1-onto-> N  /\  ( 1r `  A )  e.  B
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
271, 7, 16, 26syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
282adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  N  e.  Fin )
29283ad2ant1 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
308adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  R  e.  Ring )
31303ad2ant1 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
32 simp1r 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N -1-1-> N
)
33 f1f 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : N -1-1-> N  ->  E : N --> N )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N --> N )
35 simp2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3634, 35ffvelrnd 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( E `  a
)  e.  N )
37 simp3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  b  e.  N )
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 19528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b )  =  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
3938mpt2eq3dva 6387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
4039fveq2d 5896 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4241adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4342oveq2d 6336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  ) )
44 zrhpsgnmhm 19207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
458, 2, 44syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
46 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
47 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
4847, 17mgpbas 17784 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4946, 48mhmf 16642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
5150adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
52 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5352, 46elsymgbas 17078 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  <->  E : N -1-1-onto-> N ) )
5428, 53syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( E  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  <->  E : N
-1-1-onto-> N ) )
557, 54mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )
5651, 55ffvelrnd 6051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)
5717, 21, 18ringrz 17873 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5830, 56, 57syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5943, 58eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
6027, 40, 593eqtr3d 2504 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
6160ex 440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
6261adantr 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
63 ibar 511 . . . . . . 7  |-  ( E : N --> N  -> 
( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  ->  c  =  d )  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) ) )
6463adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( E : N
--> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) ) )
65 dff13 6189 . . . . . 6  |-  ( E : N -1-1-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) )
6664, 65syl6rbbr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  <->  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
6766notbid 300 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
68 rexnal 2848 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  -.  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
69 rexnal 2848 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
70 df-ne 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  d  <->  -.  c  =  d )
7170anbi2i 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d )  <->  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  -.  c  =  d )
)
72 annim 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  -.  c  =  d
)  <->  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
7371, 72bitr2i 258 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  /\  c  =/=  d ) )
7473rexbii 2901 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7569, 74bitr3i 259 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7675rexbii 2901 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7768, 76bitr3i 259 . . . 4  |-  ( -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7867, 77syl6bb 269 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )
79 simprrl 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( E `  c )  =  ( E `  d ) )
80 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
8180eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
8281ifbid 3915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
83 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
8482, 83eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
85 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
86 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
8786eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  d )  =  b ) )
8887ifbid 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
89 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9088, 89eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
91 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9291eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
9390, 92pm2.61i 169 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9485, 93syl6reqr 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
9584, 94pm2.61i 169 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
96 eqeq1 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  d )  =  ( E `  c )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9796eqcoms 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9897ifbid 3915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
9998ifeq1d 3911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099ifeq2d 3912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
10195, 100syl5eq 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
102101mpt2eq3dv 6389 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
103102fveq2d 5896 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
10479, 103syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
105 simpll 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ph )
106 simprll 777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  e.  N )
107 simprlr 778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  d  e.  N )
108 simprrr 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  =/=  d )
109106, 107, 1083jca 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )
11017, 19ringidcl 17856 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  K )
1118, 110syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .1.  e.  K )
11217, 18ring0cl 17857 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
1138, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
114111, 113ifcld 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
115114ad3antrrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
116 simp1ll 1077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ph )
117111, 113ifcld 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
118116, 117syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
1199, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 105, 109, 115, 118mdetunilem2 19693 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  .0.  )
120104, 119eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
121120expr 624 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( c  e.  N  /\  d  e.  N
) )  ->  (
( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
122121rexlimdvva 2898 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12378, 122sylbid 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12462, 123pm2.61d 163 1  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    \ cdif 3413   ifcif 3893   {csn 3980   class class class wbr 4418    X. cxp 4854    |` cres 4858    o. ccom 4860   -->wf 5601   -1-1->wf1 5602   -1-1-onto->wf1o 5604   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    |-> cmpt2 6322    oFcof 6561    ~~ cen 7597   Fincfn 7600   Basecbs 15176   +g cplusg 15245   .rcmulr 15246   0gc0g 15393   MndHom cmhm 16635   SymGrpcsymg 17073  pmSgncpsgn 17185  mulGrpcmgp 17778   1rcur 17790   Ringcrg 17835   ZRHomczrh 19126   Mat cmat 19487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12703  df-lsw 12704  df-concat 12705  df-s1 12706  df-substr 12707  df-splice 12708  df-reverse 12709  df-s2 12987  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-prds 15401  df-pws 15403  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-gim 16978  df-cntz 17026  df-oppg 17052  df-symg 17074  df-pmtr 17138  df-psgn 17187  df-evpm 17188  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-rnghom 17998  df-drng 18032  df-subrg 18061  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-dsmm 19350  df-frlm 19365  df-mamu 19464  df-mat 19488
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  19700
  Copyright terms: Public domain W3C validator