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Theorem mdetunilem8 18558
Description: Lemma for mdetuni 18561. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetunilem8.id  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem8  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w, a, b   
x, B, y, z, w, a, b    x, K, y, z, w, a, b    x, N, y, z, w, a, b   
x, D, y, z, w, a, b    x,  .x. , y, z, w    .+ , a,
b, x, y, z, w    .0. , a, b, x, y, z, w    .1. , a, b, x, y, z, w    x, R, y, z, w    A, a, b, x, y, z, w    x, E, y, z, w, a, b
Allowed substitution hints:    R( a, b)    .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem8
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  ph )
2 mdetuni.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 enrefg 7452 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  ~~  N )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  ~~  N )
5 f1finf1o 7651 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  ~~  N  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
64, 2, 5syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  <-> 
E : N -1-1-onto-> N ) )
76biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
8 mdetuni.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 mdetuni.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
109matrng 18457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
112, 8, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Ring )
12 mdetuni.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
13 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
1412, 13rngidcl 16789 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1511, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
17 mdetuni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
18 mdetuni.0g . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
19 mdetuni.1r . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
20 mdetuni.pg . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
21 mdetuni.tg . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
22 mdetuni.ff . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
23 mdetuni.al . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
24 mdetuni.li . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
25 mdetuni.sc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
269, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25mdetunilem7 18557 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
-1-1-onto-> N  /\  ( 1r `  A )  e.  B
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
271, 7, 16, 26syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
282adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  N  e.  Fin )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
308adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  R  e.  Ring )
31303ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
32 simp1r 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N -1-1-> N
)
33 f1f 5715 . . . . . . . . . 10  |-  ( E : N -1-1-> N  ->  E : N --> N )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  E : N --> N )
35 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  a  e.  N )
3634, 35ffvelrnd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( E `  a
)  e.  N )
37 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  b  e.  N )
389, 19, 18, 29, 31, 36, 37, 13mat1ov 18463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N -1-1-> N )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b )  =  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
3938mpt2eq3dva 6260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( ( E `  a ) ( 1r
`  A ) b ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
4039fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( ( E `  a
) ( 1r `  A ) b ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
41 mdetunilem8.id . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4241adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
4342oveq2d 6217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  ) )
44 zrhpsgnmhm 18140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
458, 2, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
46 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
4847, 17mgpbas 16720 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4946, 48mhmf 15589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
5045, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
52 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5352, 46elsymgbas 16007 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  <->  E : N -1-1-onto-> N ) )
5428, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( E  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  <->  E : N
-1-1-onto-> N ) )
557, 54mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  ->  E  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )
5651, 55ffvelrnd 5954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)
5717, 21, 18rngrz 16806 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5830, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5943, 58eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  E )  .x.  ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
6027, 40, 593eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N -1-1-> N )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
6160ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E : N -1-1-> N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
6261adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
63 ibar 504 . . . . . . 7  |-  ( E : N --> N  -> 
( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  ->  c  =  d )  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( E : N
--> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) ) )
65 dff13 6081 . . . . . 6  |-  ( E : N -1-1-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. c  e.  N  A. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d ) ) )
6664, 65syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E : N -1-1-> N  <->  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
6766notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) ) )
68 rexnal 2854 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  -.  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
69 rexnal 2854 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
70 df-ne 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  d  <->  -.  c  =  d )
7170anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d )  <->  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  -.  c  =  d )
)
72 annim 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  -.  c  =  d
)  <->  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d ) )
7371, 72bitr2i 250 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  ( ( E `
 c )  =  ( E `  d
)  /\  c  =/=  d ) )
7473rexbii 2862 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  N  -.  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7569, 74bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7675rexbii 2862 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  N  -.  A. d  e.  N  ( ( E `  c
)  =  ( E `
 d )  -> 
c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7768, 76bitr3i 251 . . . 4  |-  ( -. 
A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  c  =  d )  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
) )
7867, 77syl6bb 261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  <->  E. c  e.  N  E. d  e.  N  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )
79 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( E `  c )  =  ( E `  d ) )
80 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
8180eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
8281ifbid 3920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
83 iftrue 3906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
8482, 83eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
85 iffalse 3908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
86 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
8786eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( E `  a
)  =  b  <->  ( E `  d )  =  b ) )
8887ifbid 3920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
89 iftrue 3906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9088, 89eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
91 iffalse 3908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9291eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  a  =  d  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) )
9390, 92pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )
9485, 93syl6reqr 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  =  c  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
9584, 94pm2.61i 164 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
96 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  d )  =  ( E `  c )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9796eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
( E `  d
)  =  b  <->  ( E `  c )  =  b ) )
9897ifbid 3920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
)
9998ifeq1d 3916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099ifeq2d 3917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  d )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
10195, 100syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
a  =  c ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
102101mpt2eq3dv 6262 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
103102fveq2d 5804 . . . . . . 7  |-  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
10479, 103syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
105 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ph )
106 simprll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  e.  N )
107 simprlr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  d  e.  N )
108 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  c  =/=  d )
109106, 107, 1083jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )
11017, 19rngidcl 16789 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  K )
1118, 110syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .1.  e.  K )
11217, 18rng0cl 16790 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
1138, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
114111, 113ifcld 3941 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
115114ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  c )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
116 simp1ll 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  ph )
117111, 113ifcld 3941 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K
)
118116, 117syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  )  e.  K )
1199, 12, 17, 18, 19, 20, 21, 2, 8, 22, 23, 24, 25, 105, 109, 115, 118mdetunilem2 18552 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  c ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( a  =  d ,  if ( ( E `  c
)  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ,  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  .0.  )
120104, 119eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( ( c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
( E `  c
)  =  ( E `
 d )  /\  c  =/=  d ) ) )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
121120expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E : N --> N )  /\  ( c  e.  N  /\  d  e.  N
) )  ->  (
( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
122121rexlimdvva 2954 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( E. c  e.  N  E. d  e.  N  ( ( E `  c )  =  ( E `  d )  /\  c  =/=  d
)  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `
 a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12378, 122sylbid 215 . 2  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( -.  E : N -1-1-> N  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  ) )
12462, 123pm2.61d 158 1  |-  ( (
ph  /\  E : N
--> N )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( ( E `  a )  =  b ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    \ cdif 3434   ifcif 3900   {csn 3986   class class class wbr 4401    X. cxp 4947    |` cres 4951    o. ccom 4953   -->wf 5523   -1-1->wf1 5524   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203    oFcof 6429    ~~ cen 7418   Fincfn 7421   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   .rcmulr 14359   0gc0g 14498   MndHom cmhm 15582   SymGrpcsymg 16002  pmSgncpsgn 16115  mulGrpcmgp 16714   1rcur 16726   Ringcrg 16769   ZRHomczrh 18057   Mat cmat 18406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-word 12348  df-concat 12350  df-s1 12351  df-substr 12352  df-splice 12353  df-reverse 12354  df-s2 12594  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-gim 15907  df-cntz 15955  df-oppg 15981  df-symg 16003  df-pmtr 16068  df-psgn 16117  df-evpm 16118  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-dsmm 18283  df-frlm 18298  df-mamu 18407  df-mat 18408
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