Theorem mat1scmat 20164

Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 20140, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1scmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1scmat	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat

Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1snb 13068	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3		vex 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑒 ∈ V
4		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
5		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒⟩
7	4, 5, 6	mat1dimelbas 20096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
8	3, 7	mpan2 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
9		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
11	4, 5, 6	mat1dimid 20099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
12	10, 11	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
13	12	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}))
14		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14, 3	jctir 559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	5, 17	ringidcl 18391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	4, 5, 6	mat1dimscm 20100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
21	15, 16, 19, 20	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
22		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23	5, 22, 17	ringridm 18395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑐)
24	23	opeq2d 4347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
25	24	sneqd 4137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
26	13, 21, 25	3eqtrrd 2649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
28	9, 27	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
29	28	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
30	29	reximdva 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
31	8, 30	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
32	31	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33		snfi 7923	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒} ∈ Fin
34		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
39	5, 4, 35, 36, 37, 38	scmatel 20130	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
40	33, 34, 39	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
41	2, 32, 40	mpbir2and 959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
42	41	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43		mat1scmat.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
44		mat1scmat.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45	44	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
46	43, 45	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅))
48	47	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
49	46, 48	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
50	49	eleq2d 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
51		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
52	51	eleq2d 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
53	50, 52	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
54	42, 53	syl5ibr 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
55	54	exlimiv 1845	. . 3 ⊢ (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
56	1, 55	syl6bi 242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
57	56	3imp 1249	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816  #chash 12979  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769   ·_𝑠 cvsca 15772  1_rcur 18324  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032   ScMat cscmat 20114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-scmat 20116

This theorem is referenced by: (None)