MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mat1scmat 19564
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 19540, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1scmat.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( # `  N )  =  1  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) )

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables  e 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 12593 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  (
( # `  N )  =  1  <->  E. e  N  =  { e } ) )
2 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) ) )
3 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  e  e. 
_V
4 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { e } Mat  R )  =  ( { e } Mat  R )
5 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  <. e ,  e >.  =  <. e ,  e >.
74, 5, 6mat1dimelbas 19496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } ) )
83, 7mpan2 677 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } ) )
9 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } )
103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( Base `  R
)  ->  e  e.  _V )
114, 5, 6mat1dimid 19499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  ->  ( 1r `  ( { e } Mat  R ) )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )
1210, 11sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  ( { e } Mat  R ) )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )
1312oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) )  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) { <. <.
e ,  e >. ,  ( 1r `  R ) >. } ) )
14 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  R  e.  Ring )
1514, 3jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V ) )
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
17 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
185, 17ringidcl 17801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
204, 5, 6mat1dimscm 19500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )  =  { <. <. e ,  e
>. ,  ( c
( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) >. } )
2115, 16, 19, 20syl12anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) { <. <.
e ,  e >. ,  ( 1r `  R ) >. } )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )
>. } )
22 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
235, 22, 17ringridm 17805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  c )
2423opeq2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  <. <. e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )
>.  =  <. <. e ,  e >. ,  c
>. )
2524sneqd 3980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) >. }  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } )
2613, 21, 253eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  c >. }  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
2726adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  c >. }  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
289, 27eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
2928ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. }  ->  M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) )
3029reximdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. }  ->  E. c  e.  (
Base `  R ) M  =  ( c
( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) ) ) )
318, 30sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) ) ) )
3231imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
33 snfi 7650 . . . . . . . 8  |-  { e }  e.  Fin
34 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  R  e.  Ring )
35 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) )  =  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )
36 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) )  =  ( 1r `  ( { e } Mat  R
) )
37 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  ( { e } Mat  R ) )  =  ( .s `  ( { e } Mat  R
) )
38 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( { e } ScMat  R )  =  ( { e } ScMat  R )
395, 4, 35, 36, 37, 38scmatel 19530 . . . . . . . 8  |-  ( ( { e }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( { e } ScMat 
R )  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) ) )
4033, 34, 39sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  -> 
( M  e.  ( { e } ScMat  R
)  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) ) )
412, 32, 40mpbir2and 933 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  M  e.  ( {
e } ScMat  R )
)
4241ex 436 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  M  e.  ( { e } ScMat 
R ) ) )
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
4544fveq2i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
4643, 45eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
47 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  { e }  ->  ( N Mat  R
)  =  ( { e } Mat  R ) )
4847fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  { e }  ->  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )
4946, 48syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { e }  ->  B  =  (
Base `  ( {
e } Mat  R )
) )
5049eleq2d 2514 . . . . . 6  |-  ( N  =  { e }  ->  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R ) ) ) )
51 oveq1 6297 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { e }  ->  ( N ScMat  R
)  =  ( { e } ScMat  R )
)
5251eleq2d 2514 . . . . . 6  |-  ( N  =  { e }  ->  ( M  e.  ( N ScMat  R )  <-> 
M  e.  ( { e } ScMat  R )
) )
5350, 52imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( N  =  { e }  ->  ( ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R ) )  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  M  e.  ( { e } ScMat 
R ) ) ) )
5442, 53syl5ibr 225 . . . 4  |-  ( N  =  { e }  ->  ( R  e. 
Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R ) ) ) )
5554exlimiv 1776 . . 3  |-  ( E. e  N  =  {
e }  ->  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) ) )
561, 55syl6bi 232 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  (
( # `  N )  =  1  ->  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) ) ) )
57563imp 1202 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( # `  N )  =  1  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   {csn 3968   <.cop 3974   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   1c1 9540   #chash 12515   Basecbs 15121   .rcmulr 15191   .scvsca 15194   1rcur 17735   Ringcrg 17780   Mat cmat 19432   ScMat cscmat 19514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-scmat 19516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator