MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Unicode version

Theorem mat1scmat 18910
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 18886, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1scmat.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( # `  N )  =  1  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) )

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables  e 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 12459 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  (
( # `  N )  =  1  <->  E. e  N  =  { e } ) )
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) ) )
3 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  e  e. 
_V
4 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { e } Mat  R )  =  ( { e } Mat  R )
5 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  <. e ,  e >.  =  <. e ,  e >.
74, 5, 6mat1dimelbas 18842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } ) )
83, 7mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } ) )
9 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } )
103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( Base `  R
)  ->  e  e.  _V )
114, 5, 6mat1dimid 18845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  ->  ( 1r `  ( { e } Mat  R ) )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )
1210, 11sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  ( { e } Mat  R ) )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )
1312oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) )  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) { <. <.
e ,  e >. ,  ( 1r `  R ) >. } ) )
14 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  R  e.  Ring )
1514, 3jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V ) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
185, 17ringidcl 17091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
204, 5, 6mat1dimscm 18846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )  =  { <. <. e ,  e
>. ,  ( c
( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) >. } )
2115, 16, 19, 20syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) { <. <.
e ,  e >. ,  ( 1r `  R ) >. } )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )
>. } )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
235, 22, 17ringridm 17095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  c )
2423opeq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  <. <. e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )
>.  =  <. <. e ,  e >. ,  c
>. )
2524sneqd 4045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) >. }  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } )
2613, 21, 253eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  c >. }  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  c >. }  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
289, 27eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. }  ->  M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) )
3029reximdva 2942 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. }  ->  E. c  e.  (
Base `  R ) M  =  ( c
( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) ) ) )
318, 30sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
33 snfi 7608 . . . . . . . . 9  |-  { e }  e.  Fin
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  { e }  e.  Fin )
35 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  R  e.  Ring )
36 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) )  =  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )
37 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) )  =  ( 1r `  ( { e } Mat  R
) )
38 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  ( { e } Mat  R ) )  =  ( .s `  ( { e } Mat  R
) )
39 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( { e } ScMat  R )  =  ( { e } ScMat  R )
405, 4, 36, 37, 38, 39scmatel 18876 . . . . . . . 8  |-  ( ( { e }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( { e } ScMat 
R )  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) ) )
4134, 35, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  -> 
( M  e.  ( { e } ScMat  R
)  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) ) )
422, 32, 41mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  M  e.  ( {
e } ScMat  R )
)
4342ex 434 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  M  e.  ( { e } ScMat 
R ) ) )
44 mat1scmat.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
45 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
4645fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
4744, 46eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
48 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  { e }  ->  ( N Mat  R
)  =  ( { e } Mat  R ) )
4948fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  { e }  ->  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )
5047, 49syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { e }  ->  B  =  (
Base `  ( {
e } Mat  R )
) )
5150eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( N  =  { e }  ->  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R ) ) ) )
52 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { e }  ->  ( N ScMat  R
)  =  ( { e } ScMat  R )
)
5352eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( N  =  { e }  ->  ( M  e.  ( N ScMat  R )  <-> 
M  e.  ( { e } ScMat  R )
) )
5451, 53imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( N  =  { e }  ->  ( ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R ) )  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  M  e.  ( { e } ScMat 
R ) ) ) )
5543, 54syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( N  =  { e }  ->  ( R  e. 
Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R ) ) ) )
5655exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. e  N  =  {
e }  ->  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) ) )
571, 56syl6bi 228 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  (
( # `  N )  =  1  ->  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) ) ) )
58573imp 1190 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( # `  N )  =  1  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   {csn 4033   <.cop 4039   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   1c1 9505   #chash 12385   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   .scvsca 14576   1rcur 17025   Ringcrg 17070   Mat cmat 18778   ScMat cscmat 18860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-scmat 18862
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator