MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Unicode version

Theorem mat1scmat 19018
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 18994, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1scmat.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( # `  N )  =  1  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) )

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables  e 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 12460 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  (
( # `  N )  =  1  <->  E. e  N  =  { e } ) )
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) ) )
3 vex 3098 . . . . . . . . . 10  |-  e  e. 
_V
4 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { e } Mat  R )  =  ( { e } Mat  R )
5 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  <. e ,  e >.  =  <. e ,  e >.
74, 5, 6mat1dimelbas 18950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } ) )
83, 7mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  <->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } ) )
9 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } )
103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( Base `  R
)  ->  e  e.  _V )
114, 5, 6mat1dimid 18953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  ->  ( 1r `  ( { e } Mat  R ) )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )
1210, 11sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  ( { e } Mat  R ) )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )
1312oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) )  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) { <. <.
e ,  e >. ,  ( 1r `  R ) >. } ) )
14 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  R  e.  Ring )
1514, 3jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V ) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
185, 17ringidcl 17197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
204, 5, 6mat1dimscm 18954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  e  e.  _V )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) { <. <. e ,  e >. ,  ( 1r `  R )
>. } )  =  { <. <. e ,  e
>. ,  ( c
( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) >. } )
2115, 16, 19, 20syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) { <. <.
e ,  e >. ,  ( 1r `  R ) >. } )  =  { <. <. e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )
>. } )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
235, 22, 17ringridm 17201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  c )
2423opeq2d 4209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  <. <. e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )
>.  =  <. <. e ,  e >. ,  c
>. )
2524sneqd 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  ( c ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) >. }  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. } )
2613, 21, 253eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  c >. }  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  { <. <.
e ,  e >. ,  c >. }  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
289, 27eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. } )  ->  M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( M  =  { <. <. e ,  e >. ,  c
>. }  ->  M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) )
3029reximdva 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  { <. <. e ,  e
>. ,  c >. }  ->  E. c  e.  (
Base `  R ) M  =  ( c
( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) ) ) )
318, 30sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R
) ) ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s `  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) )
33 snfi 7598 . . . . . . . 8  |-  { e }  e.  Fin
34 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  R  e.  Ring )
35 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( { e } Mat 
R ) )  =  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )
36 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  ( { e } Mat  R ) )  =  ( 1r `  ( { e } Mat  R
) )
37 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  ( { e } Mat  R ) )  =  ( .s `  ( { e } Mat  R
) )
38 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( { e } ScMat  R )  =  ( { e } ScMat  R )
395, 4, 35, 36, 37, 38scmatel 18984 . . . . . . . 8  |-  ( ( { e }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( { e } ScMat 
R )  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) ) )
4033, 34, 39sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  -> 
( M  e.  ( { e } ScMat  R
)  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  /\  E. c  e.  ( Base `  R ) M  =  ( c ( .s
`  ( { e } Mat  R ) ) ( 1r `  ( { e } Mat  R
) ) ) ) ) )
412, 32, 40mpbir2and 922 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )  ->  M  e.  ( {
e } ScMat  R )
)
4241ex 434 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  M  e.  ( { e } ScMat 
R ) ) )
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
4544fveq2i 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
4643, 45eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
47 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  { e }  ->  ( N Mat  R
)  =  ( { e } Mat  R ) )
4847fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  { e }  ->  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( { e } Mat  R
) ) )
4946, 48syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { e }  ->  B  =  (
Base `  ( {
e } Mat  R )
) )
5049eleq2d 2513 . . . . . 6  |-  ( N  =  { e }  ->  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R ) ) ) )
51 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( N  =  { e }  ->  ( N ScMat  R
)  =  ( { e } ScMat  R )
)
5251eleq2d 2513 . . . . . 6  |-  ( N  =  { e }  ->  ( M  e.  ( N ScMat  R )  <-> 
M  e.  ( { e } ScMat  R )
) )
5350, 52imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( N  =  { e }  ->  ( ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R ) )  <->  ( M  e.  ( Base `  ( { e } Mat  R
) )  ->  M  e.  ( { e } ScMat 
R ) ) ) )
5442, 53syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( N  =  { e }  ->  ( R  e. 
Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R ) ) ) )
5554exlimiv 1709 . . 3  |-  ( E. e  N  =  {
e }  ->  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) ) )
561, 55syl6bi 228 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  (
( # `  N )  =  1  ->  ( R  e.  Ring  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) ) ) )
57563imp 1191 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( # `  N )  =  1  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( N ScMat  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   1c1 9496   #chash 12386   Basecbs 14613   .rcmulr 14679   .scvsca 14682   1rcur 17131   Ringcrg 17176   Mat cmat 18886   ScMat cscmat 18968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-prds 14826  df-pws 14828  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-dsmm 18740  df-frlm 18755  df-mamu 18863  df-mat 18887  df-scmat 18970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator