Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mat1scmat 19564
 Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 19540, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a Mat
mat1scmat.b
Assertion
Ref Expression
mat1scmat ScMat

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 12593 . . 3
2 simpr 463 . . . . . . 7 Mat Mat
3 vex 3048 . . . . . . . . . 10
4 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 Mat Mat
5 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
6 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
74, 5, 6mat1dimelbas 19496 . . . . . . . . . 10 Mat
83, 7mpan2 677 . . . . . . . . 9 Mat
9 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114, 5, 6mat1dimid 19499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Mat
1210, 11sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 Mat
1312oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14 Mat Mat Mat
14 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514, 3jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
185, 17ringidcl 17801 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
204, 5, 6mat1dimscm 19500 . . . . . . . . . . . . . . 15 Mat
2115, 16, 19, 20syl12anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14 Mat
22 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
235, 22, 17ringridm 17805 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423opeq2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524sneqd 3980 . . . . . . . . . . . . . 14
2613, 21, 253eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . . . 13 Mat Mat
2726adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 Mat Mat
289, 27eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11 Mat Mat
2928ex 436 . . . . . . . . . 10 Mat Mat
3029reximdva 2862 . . . . . . . . 9 Mat Mat
318, 30sylbid 219 . . . . . . . 8 Mat Mat Mat
3231imp 431 . . . . . . 7 Mat Mat Mat
33 snfi 7650 . . . . . . . 8
34 simpl 459 . . . . . . . 8 Mat
35 eqid 2451 . . . . . . . . 9 Mat Mat
36 eqid 2451 . . . . . . . . 9 Mat Mat
37 eqid 2451 . . . . . . . . 9 Mat Mat
38 eqid 2451 . . . . . . . . 9 ScMat ScMat
395, 4, 35, 36, 37, 38scmatel 19530 . . . . . . . 8 ScMat Mat Mat Mat
4033, 34, 39sylancr 669 . . . . . . 7 Mat ScMat Mat Mat Mat
412, 32, 40mpbir2and 933 . . . . . 6 Mat ScMat
4241ex 436 . . . . 5 Mat ScMat
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10 Mat
4544fveq2i 5868 . . . . . . . . 9 Mat
4643, 45eqtri 2473 . . . . . . . 8 Mat
47 oveq1 6297 . . . . . . . . 9 Mat Mat
4847fveq2d 5869 . . . . . . . 8 Mat Mat
4946, 48syl5eq 2497 . . . . . . 7 Mat
5049eleq2d 2514 . . . . . 6 Mat
51 oveq1 6297 . . . . . . 7 ScMat ScMat
5251eleq2d 2514 . . . . . 6 ScMat ScMat
5350, 52imbi12d 322 . . . . 5 ScMat Mat ScMat
5442, 53syl5ibr 225 . . . 4 ScMat
5554exlimiv 1776 . . 3 ScMat
561, 55syl6bi 232 . 2 ScMat
57563imp 1202 1 ScMat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  wrex 2738  cvv 3045  csn 3968  cop 3974  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  c1 9540  chash 12515  cbs 15121  cmulr 15191  cvsca 15194  cur 17735  crg 17780   Mat cmat 19432   ScMat cscmat 19514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-scmat 19516 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator