Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat 33355
 Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 28629 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
2 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lsatcvat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
4 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lsatcvat.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝑆)
9 lsatcvat.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
109adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑄𝐴)
11 lsatcvat.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑅𝐴)
13 lsatcvat.n . . . 4 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
15 lsatcvat.l . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
17 simpr 476 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 33354 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑄𝑈) → 𝑈𝐴)
195adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
207adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈𝑆)
2111adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑅𝐴)
229adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑄𝐴)
2313adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
24 lveclmod 18927 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
255, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
26 lmodabl 18733 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
282lsssssubg 18779 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
2925, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
302, 4, 25, 9lsatlssel 33302 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑆)
3129, 30sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
322, 4, 25, 11lsatlssel 33302 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝑆)
3329, 32sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
343lsmcom 18084 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
3527, 31, 33, 34syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
3635psseq2d 3662 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄)))
3715, 36mpbid 221 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄))
3837adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑅 𝑄))
39 simpr 476 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → ¬ 𝑅𝑈)
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 33354 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅𝑈) → 𝑈𝐴)
4129, 7sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
423lsmlub 17901 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈))
4331, 33, 41, 42syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈))
44 ssnpss 3672 . . . . . 6 ((𝑄 𝑅) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4543, 44syl6bi 242 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑈𝑅𝑈) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅)))
4645con2d 128 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) → ¬ (𝑄𝑈𝑅𝑈)))
47 ianor 508 . . . 4 (¬ (𝑄𝑈𝑅𝑈) ↔ (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈))
4846, 47syl6ib 240 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅) → (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈)))
4915, 48mpd 15 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈 ∨ ¬ 𝑅𝑈))
5018, 40, 49mpjaodan 823 1 (𝜑𝑈𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lcv 33324 This theorem is referenced by:  lsatcvat2  33356
 Copyright terms: Public domain W3C validator