Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvatlem 33354
Description: Lemma for lsatcvat 33355. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
lsatcvat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 18927 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 33316 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝑥𝑈)
10 eqid 2610 . . . . 5 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
1143ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
1263ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 33302 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 33302 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝑆)
17163ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
191, 18lsmcl 18904 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑥𝑆) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
23223ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
24 sseq1 3589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑄 → (𝑥𝑈𝑄𝑈))
2524biimpcd 238 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑈 → (𝑥 = 𝑄𝑄𝑈))
2625necon3bd 2796 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
27263ad2ant3 1077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑄)
29153ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 33350 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄 ↔ (𝑥𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 33345 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑥𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄)))
3331, 32mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄))
34 lmodabl 18733 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
361lsssssubg 18779 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3837, 14sseldd 3569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3937, 17sseldd 3569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4018lsmcom 18084 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4233, 41breqtrd 4609 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑥))
43 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
45443ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4618lsmub1 17894 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
4739, 38, 46syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐴)
49483ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝐴)
5044pssssd 3666 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
51503ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
5243, 51sstrd 3578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 33351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥))
541, 3, 6, 48lsatlssel 33302 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑆)
55543ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝑆)
5637, 55sseldd 3569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5737, 20sseldd 3569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5818lsmlub 17901 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
6047, 53, 59mpbi2and 958 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥))
6145, 60psssstrd 3678 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑥))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 33333 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
6362, 13eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝐴)
6463rexlimdv3a 3015 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑈𝑈𝐴))
659, 64mpd 15 1 (𝜑𝑈𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  wpss 3541  {csn 4125   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279  L clcv 33323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lcv 33324
This theorem is referenced by:  lsatcvat  33355
  Copyright terms: Public domain W3C validator