Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat2 33356
 Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 28630 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat2.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat2.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcvat2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat2.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat2.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat2.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat2.n (𝜑𝑄𝑅)
lsatcvat2.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat2 (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat2
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2 lsatcvat2.s . 2 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lsatcvat2.p . 2 = (LSSum‘𝑊)
4 lsatcvat2.a . 2 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5 lsatcvat2.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lsatcvat2.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
7 lsatcvat2.q . 2 (𝜑𝑄𝐴)
8 lsatcvat2.r . 2 (𝜑𝑅𝐴)
9 lsatcvat2.n . . 3 (𝜑𝑄𝑅)
10 lsatcvat2.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
11 lsatcvat2.l . . . . 5 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
121, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11lsatcv1 33353 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 = {(0g𝑊)} ↔ 𝑄 = 𝑅))
1312necon3bid 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ≠ {(0g𝑊)} ↔ 𝑄𝑅))
149, 13mpbird 246 . 2 (𝜑𝑈 ≠ {(0g𝑊)})
15 lveclmod 18927 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
165, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
172, 4, 16, 7lsatlssel 33302 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
182, 4, 16, 8lsatlssel 33302 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
192, 3lsmcl 18904 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑅𝑆) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
212, 10, 5, 6, 20, 11lcvpss 33329 . 2 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21lsatcvat 33355 1 (𝜑𝑈𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0gc0g 15923  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279   ⋖L clcv 33323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lcv 33324 This theorem is referenced by:  lsatcvat3  33357
 Copyright terms: Public domain W3C validator