Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Unicode version

Theorem lsatcvat 29533
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 23842 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat.n  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
lsatcvat.l  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcvat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lsatcvat.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  S )
9 lsatcvat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
109adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  Q  e.  A )
11 lsatcvat.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  R  e.  A )
13 lsatcvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
1413adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
15 lsatcvat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
17 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  -.  Q  C_  U )
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 29532 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  A )
195adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
207adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  S )
2111adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  R  e.  A )
229adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  Q  e.  A )
2313adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
24 lveclmod 16133 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
255, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
26 lmodabl 15946 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
282lsssssubg 15989 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
2925, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
302, 4, 25, 9lsatlssel 29480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
3129, 30sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
322, 4, 25, 11lsatlssel 29480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
3329, 32sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
343lsmcom 15428 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3527, 31, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3635psseq2d 3400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  <->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) ) )
3715, 36mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( R 
.(+)  Q ) )
3837adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) )
39 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  -.  R  C_  U )
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 29532 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  A )
4129, 7sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
423lsmlub 15252 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
4331, 33, 41, 42syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
44 ssnpss 3410 . . . . . 6  |-  ( ( Q  .(+)  R )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
4543, 44syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) ) )
4645con2d 109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  ->  -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U ) ) )
47 ianor 475 . . . 4  |-  ( -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U )  <-> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
4846, 47syl6ib 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  -> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) ) )
4915, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
5018, 40, 49mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    C_ wss 3280    C. wpss 3281   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0gc0g 13678  SubGrpcsubg 14893   LSSumclsm 15223   Abelcabel 15368   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LVecclvec 16129  LSAtomsclsa 29457
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  29534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lcv 29502
  Copyright terms: Public domain W3C validator