Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Unicode version

Theorem lsatcvat 32700
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 25795 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat.n  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
lsatcvat.l  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q  .(+) 
R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcvat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lsatcvat.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  S )
9 lsatcvat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  Q  e.  A )
11 lsatcvat.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  R  e.  A )
13 lsatcvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
15 lsatcvat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q  .(+) 
R ) )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
17 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  -.  Q  C_  U )
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 32699 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  A )
195adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
207adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  S )
2111adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  R  e.  A )
229adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  Q  e.  A )
2313adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
24 lveclmod 17192 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
255, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
26 lmodabl 16997 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
282lsssssubg 17044 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
2925, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
302, 4, 25, 9lsatlssel 32647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
3129, 30sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
322, 4, 25, 11lsatlssel 32647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
3329, 32sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
343lsmcom 16345 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3527, 31, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3635psseq2d 3454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  <->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) ) )
3715, 36mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( R  .(+) 
Q ) )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) )
39 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  -.  R  C_  U )
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 32699 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  A )
4129, 7sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
423lsmlub 16167 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
4331, 33, 41, 42syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
44 ssnpss 3464 . . . . . 6  |-  ( ( Q  .(+)  R )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
4543, 44syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) ) )
4645con2d 115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  ->  -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U ) ) )
47 ianor 488 . . . 4  |-  ( -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U )  <-> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
4846, 47syl6ib 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  -> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) ) )
4915, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
5018, 40, 49mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611    C_ wss 3333    C. wpss 3334   {csn 3882   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0gc0g 14383  SubGrpcsubg 15680   LSSumclsm 16138   Abelcabel 16283   LModclmod 16953   LSubSpclss 17018   LVecclvec 17188  LSAtomsclsa 32624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-0g 14385  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-lsm 16140  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lvec 17189  df-lsatoms 32626  df-lcv 32669
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  32701
  Copyright terms: Public domain W3C validator