Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Structured version   Unicode version

Theorem lsatcvat 34876
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 27431 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat.n  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
lsatcvat.l  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q  .(+) 
R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcvat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lsatcvat.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  S )
9 lsatcvat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
109adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  Q  e.  A )
11 lsatcvat.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  R  e.  A )
13 lsatcvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
15 lsatcvat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q  .(+) 
R ) )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
17 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  -.  Q  C_  U )
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 34875 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  A )
195adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
207adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  S )
2111adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  R  e.  A )
229adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  Q  e.  A )
2313adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
24 lveclmod 17878 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
255, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
26 lmodabl 17683 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
282lsssssubg 17730 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
2925, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
302, 4, 25, 9lsatlssel 34823 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
3129, 30sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
322, 4, 25, 11lsatlssel 34823 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
3329, 32sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
343lsmcom 16990 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3527, 31, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3635psseq2d 3593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  <->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) ) )
3715, 36mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( R  .(+) 
Q ) )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) )
39 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  -.  R  C_  U )
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 34875 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  A )
4129, 7sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
423lsmlub 16809 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
4331, 33, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
44 ssnpss 3603 . . . . . 6  |-  ( ( Q  .(+)  R )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
4543, 44syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) ) )
4645con2d 115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  ->  -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U ) ) )
47 ianor 488 . . . 4  |-  ( -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U )  <-> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
4846, 47syl6ib 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  -> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) ) )
4915, 48mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
5018, 40, 49mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    C_ wss 3471    C. wpss 3472   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0gc0g 14856  SubGrpcsubg 16321   LSSumclsm 16780   Abelcabl 16925   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   LVecclvec 17874  LSAtomsclsa 34800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-0g 14858  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875  df-lsatoms 34802  df-lcv 34845
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  34877
  Copyright terms: Public domain W3C validator