MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscgra 25501
Description: Property for two angles ABC and DEF to be congruent. This is a modified version of the definition 11.3 of [Schwabhauser] p. 95. where the number of constructed points has been reduced to two. We chose this version rather than the textbook version because it is shorter and therefore simpler to work with. Theorem dfcgra2 25521 shows that those definitions are indeed equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (𝜑𝐴𝑃)
iscgra.b (𝜑𝐵𝑃)
iscgra.c (𝜑𝐶𝑃)
iscgra.d (𝜑𝐷𝑃)
iscgra.e (𝜑𝐸𝑃)
iscgra.f (𝜑𝐹𝑃)
Assertion
Ref Expression
iscgra (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem iscgra
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
43fveq1d 6105 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
5 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑦 = 𝑦)
62, 4, 5s3eqd 13460 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩)
71, 6breq12d 4596 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩))
84fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐾‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)))
93fveq1d 6105 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
102, 8, 9breq123d 4597 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)))
113fveq1d 6105 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
125, 8, 11breq123d 4597 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))
137, 10, 123anbi123d 1391 . . . . . 6 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
14132rexbidv 3039 . . . . 5 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
15 eqid 2610 . . . . 5 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}
1614, 15brab2a 5091 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))))
18 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → 𝑥 = 𝑥)
19 iscgra.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝑃)
20 s3fv1 13487 . . . . . . . . . 10 (𝐸𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
23 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → 𝑦 = 𝑦)
2418, 22, 23s3eqd 13460 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
2524breq2d 4595 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩))
2622fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)) = (𝐾𝐸))
27 iscgra.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑃)
28 s3fv0 13486 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
3118, 26, 30breq123d 4597 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ↔ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷))
32 iscgra.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑃)
33 s3fv2 13488 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
3623, 26, 35breq123d 4597 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) ↔ 𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
3725, 31, 363anbi123d 1391 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
38372rexbidva 3038 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
3938anbi2d 736 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))))
4017, 39bitrd 267 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))))
41 iscgra.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
42 elex 3185 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
43 iscgra.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
44 iscgra.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
45 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → 𝑝 = 𝑃)
4645eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → 𝑃 = 𝑝)
4746oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑃𝑚 (0..^3)) = (𝑝𝑚 (0..^3)))
4847eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))))
4947eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))))
5048, 49anbi12d 743 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)))))
51 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → 𝑘 = 𝐾)
52 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑏‘1) = (𝑏‘1))
5351, 52fveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(𝑏‘1)))
5453breqd 4594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
5553breqd 4594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
5654, 553anbi23d 1394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5756bicomd 212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5846, 57rexeqbidv 3130 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (∃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5946, 58rexeqbidv 3130 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
6050, 59anbi12d 743 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
6143, 44, 60sbcie2s 15744 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
6261opabbidv 4648 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
63 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
6463breqd 4594 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
65643anbi1d 1395 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
6665rexbidv 3034 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
6766rexbidv 3034 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
6867anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
6968opabbidv 4648 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
7062, 69eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
71 df-cgra 25500 . . . . 5 cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
72 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V
7372, 72xpex 6860 . . . . . 6 ((𝑃𝑚 (0..^3)) × (𝑃𝑚 (0..^3))) ∈ V
74 opabssxp 5116 . . . . . 6 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ⊆ ((𝑃𝑚 (0..^3)) × (𝑃𝑚 (0..^3)))
7573, 74ssexi 4731 . . . . 5 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ∈ V
7670, 71, 75fvmpt 6191 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
7741, 42, 763syl 18 . . 3 (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
7877breqd 4594 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
79 iscgra.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
80 iscgra.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
81 iscgra.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
8279, 80, 81s3cld 13467 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
83 s3len 13489 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
8582, 84jca 553 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
86 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
8743, 86eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
88 3nn0 11187 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
89 wrdmap 13191 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9087, 88, 89mp2an 704 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9185, 90sylib 207 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9227, 19, 32s3cld 13467 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
93 s3len 13489 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
9493a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3)
9592, 94jca 553 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3))
96 wrdmap 13191 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9787, 88, 96mp2an 704 . . . . 5 ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9895, 97sylib 207 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9991, 98jca 553 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
10099biantrurd 528 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))))
10140, 78, 1003bitr4d 299 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  Vcvv 3173  [wsbc 3402   class class class wbr 4583  {copab 4642   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs3 13438  Basecbs 15695  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  cgrGccgrg 25205  hlGchlg 25295  cgrAccgra 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cgra 25500
This theorem is referenced by:  iscgra1  25502  iscgrad  25503  cgrane1  25504  cgrane2  25505  cgrane3  25506  cgrane4  25507  cgrahl1  25508  cgrahl2  25509  cgracgr  25510  cgraswap  25512  cgracom  25514  cgratr  25515  cgrabtwn  25517  cgrahl  25518  sacgr  25522
  Copyright terms: Public domain W3C validator