Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgrad Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Sufficient conditions for angle congruence, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (𝜑𝐴𝑃)
iscgra.b (𝜑𝐵𝑃)
iscgra.c (𝜑𝐶𝑃)
iscgra.d (𝜑𝐷𝑃)
iscgra.e (𝜑𝐸𝑃)
iscgra.f (𝜑𝐹𝑃)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgrad.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
2 iscgrad.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
3 iscgrad.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
4 iscgrad.2 . . . 4 (𝜑𝑋(𝐾𝐸)𝐷)
5 iscgrad.3 . . . 4 (𝜑𝑌(𝐾𝐸)𝐹)
63, 4, 53jca 1235 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
7 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
8 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝐸 = 𝐸)
9 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑦)
107, 8, 9s3eqd 13460 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩)
1110breq2d 4595 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩))
12 breq1 4586 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑋(𝐾𝐸)𝐷))
1311, 123anbi12d 1392 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
14 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑋 = 𝑋)
15 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝐸 = 𝐸)
16 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑦 = 𝑌)
1714, 15, 16s3eqd 13460 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ = ⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩)
1817breq2d 4595 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩))
19 breq1 4586 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦(𝐾𝐸)𝐹𝑌(𝐾𝐸)𝐹))
2018, 193anbi13d 1393 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)))
2113, 20rspc2ev 3295 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑋𝐸𝑌”⟩ ∧ 𝑋(𝐾𝐸)𝐷𝑌(𝐾𝐸)𝐹)) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
221, 2, 6, 21syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
23 iscgra.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
24 iscgra.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
25 iscgra.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
26 iscgra.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
27 iscgra.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
28 iscgra.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
29 iscgra.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
30 iscgra.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
31 iscgra.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
32 iscgra.f . . 3 (𝜑𝐹𝑃)
3323, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32iscgra 25501 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
3422, 33mpbird 246 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ⟨“cs3 13438  Basecbs 15695  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  cgrGccgrg 25205  hlGchlg 25295  cgrAccgra 25499 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cgra 25500 This theorem is referenced by:  cgrahl1  25508  cgrahl2  25509  cgraid  25511  cgrcgra  25513  dfcgra2  25521  sacgr  25522  tgsas2  25537  tgsas3  25538  tgasa1  25539  tgsss1  25541
 Copyright terms: Public domain W3C validator