Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcdaabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcdaabs 8911
 Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infcdaabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infcdaabs
StepHypRef Expression
1 cdadom2 8892 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
213ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4 xp2cda 8885 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
62, 5breqtrrd 4611 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
7 2onn 7607 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
8 nnsdom 8434 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ≺ ω)
9 sdomdom 7869 . . . . . . 7 (2𝑜 ≺ ω → 2𝑜 ≼ ω)
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . 6 2𝑜 ≼ ω
11 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → ω ≼ 𝐴)
12 domtr 7895 . . . . . 6 ((2𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2𝑜𝐴)
1310, 11, 12sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 2𝑜𝐴)
14 xpdom2g 7941 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
153, 13, 14syl2anc 691 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16 domtr 7895 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
176, 15, 16syl2anc 691 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 infxpidm2 8723 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
19183adant3 1074 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
20 domentr 7901 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 691 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
22 reldom 7847 . . . . 5 Rel ≼
2322brrelexi 5082 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
24233ad2ant3 1077 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 cdadom3 8893 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
263, 24, 25syl2anc 691 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
27 sbth 7965 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
2821, 26, 27syl2anc 691 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  (class class class)co 6549  ωcom 6957  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  cardccrd 8644   +𝑐 ccda 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873 This theorem is referenced by:  infunabs  8912  infcda  8913  infdif  8914
 Copyright terms: Public domain W3C validator