Theorem infcdaabs 8911

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infcdaabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infcdaabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdadom2 8892	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2	1	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3		simp1 1054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4		xp2cda 8885	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
6	2, 5	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
7		2onn 7607	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
8		nnsdom 8434	. . . . . . 7 ⊢ (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ≺ ω)
9		sdomdom 7869	. . . . . . 7 ⊢ (2𝑜 ≺ ω → 2𝑜 ≼ ω)
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ≼ ω
11		simp2 1055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
12		domtr 7895	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2𝑜 ≼ 𝐴)
13	10, 11, 12	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 2𝑜 ≼ 𝐴)
14		xpdom2g 7941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
15	3, 13, 14	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16		domtr 7895	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	6, 15, 16	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		infxpidm2 8723	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
19	18	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
20		domentr 7901	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
21	17, 19, 20	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
22		reldom 7847	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
23	22	brrelexi 5082	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
24	23	3ad2ant3 1077	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25		cdadom3 8893	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
26	3, 24, 25	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
27		sbth 7965	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
28	21, 26, 27	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  (class class class)co 6549  ωcom 6957  2_𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  cardccrd 8644   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  infunabs  8912  infcda  8913  infdif  8914