Theorem infcdaabs 8835

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. _V
infunabs.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
infcdaabs	|- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)

Proof of Theorem infcdaabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 5520	. . 3 |- (((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)) -> (A +c B) ~~ A)
2		domtr 5474	. . . . 5 |- (((A +c B) ~<_ (A X. 2o) /\ (A X. 2o) ~<_ (A X. A)) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
3		infunabs.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
4		infunabs.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
5	3, 4, 4	cdadom2 6084	. . . . . 6 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A +c A))
6	4	xp2cda 6078	. . . . . 6 |- (A X. 2o) = (A +c A)
7	5, 6	syl6breqr 3377	. . . . 5 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A X. 2o))
8		2onn 5311	. . . . . . . . 9 |- 2o e. om
9		omsdomnn 5623	. . . . . . . . 9 |- (2o e. om -> (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o)
11	10	simpli 347	. . . . . . 7 |- 2o ~<_ om
12		domtr 5474	. . . . . . 7 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ A) -> 2o ~<_ A)
13	11, 12	mpan 759	. . . . . 6 |- (om ~<_ A -> 2o ~<_ A)
14	4, 4	xpdom2 5501	. . . . . 6 |- (2o ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
15	13, 14	syl 12	. . . . 5 |- (om ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
16	2, 7, 15	syl2an 503	. . . 4 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
17	4	infxpidm 8833	. . . . 5 |- (om ~<_ A -> (A X. A) ~~ A)
18	17	adantl 424	. . . 4 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A X. A) ~~ A)
19		domentr 5480	. . . 4 |- (((A +c B) ~<_ (A X. A) /\ (A X. A) ~~ A) -> (A +c B) ~<_ A)
20	16, 18, 19	syl11anc 524	. . 3 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ A)
21	4, 3	cdadom3 6085	. . 3 |- A ~<_ (A +c B)
22	1, 20, 21	sylancl 525	. 2 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)
23	22	ancoms 484	1 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  omcom 3949   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  2oc2o 5173   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   +c ccda 6065

This theorem is referenced by:  infcda 8836  infdif 8837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-card 5862  df-cda 6066  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain