Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infunabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infunabs 8912
 Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infunabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infunabs
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2 reldom 7847 . . . . . 6 Rel ≼
32brrelexi 5082 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
433ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 uncdadom 8876 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
61, 4, 5syl2anc 691 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
7 infcdaabs 8911 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
8 domentr 7901 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
96, 7, 8syl2anc 691 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
10 unexg 6857 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
111, 4, 10syl2anc 691 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ V)
12 ssun1 3738 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
13 ssdomg 7887 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
1411, 12, 13mpisyl 21 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
15 sbth 7965 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
169, 14, 15syl2anc 691 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  cardccrd 8644   +𝑐 ccda 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873 This theorem is referenced by:  infunsdom1  8918  infxp  8920
 Copyright terms: Public domain W3C validator