Theorem uncdadom 8876

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4718	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsneng 7930	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4		ensym 7891	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
5		endom 7868	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
7		1on 7454	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ On
8		xpsneng 7930	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
10		ensym 7891	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}))
11		endom 7868	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}) → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
13		xp01disj 7463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
14		undom 7933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
15	13, 14	mpan2 703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
16	6, 12, 15	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
17		cdaval 8875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
18	16, 17	breqtrrd 4611	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  cdadom3  8893  unnum  8905  ficardun2  8908  pwsdompw  8909  unctb  8910  infunabs  8912  infcda  8913  infdif  8914