MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unctb 8910
Description: The union of two countable sets is countable. (Contributed by FL, 25-Aug-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unctb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem unctb
StepHypRef Expression
1 reldom 7847 . . . 4 Rel ≼
21brrelexi 5082 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
31brrelexi 5082 . . 3 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
4 uncdadom 8876 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
52, 3, 4syl2an 493 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6 cdadom1 8891 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵))
7 cdadom2 8892 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
8 domtr 7895 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 𝐵) ∧ (ω +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
96, 7, 8syl2an 493 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω))
10 omex 8423 . . . . . 6 ω ∈ V
1110, 10xpex 6860 . . . . 5 (ω × ω) ∈ V
12 xp2cda 8885 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω))
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (ω × 2𝑜) = (ω +𝑐 ω)
14 ordom 6966 . . . . . . . 8 Ord ω
15 2onn 7607 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
16 ordelss 5656 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → 2𝑜 ⊆ ω)
1714, 15, 16mp2an 704 . . . . . . 7 2𝑜 ⊆ ω
18 xpss2 5152 . . . . . . 7 (2𝑜 ⊆ ω → (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (ω × 2𝑜) ⊆ (ω × ω)
2013, 19eqsstr3i 3599 . . . . 5 (ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω)
21 ssdomg 7887 . . . . 5 ((ω × ω) ∈ V → ((ω +𝑐 ω) ⊆ (ω × ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)))
2211, 20, 21mp2 9 . . . 4 (ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω)
23 xpomen 8721 . . . 4 (ω × ω) ≈ ω
24 domentr 7901 . . . 4 (((ω +𝑐 ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (ω +𝑐 ω) ≼ ω)
2522, 23, 24mp2an 704 . . 3 (ω +𝑐 ω) ≼ ω
26 domtr 7895 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (ω +𝑐 ω) ∧ (ω +𝑐 ω) ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
279, 25, 26sylancl 693 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω)
28 domtr 7895 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
295, 27, 28syl2anc 691 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538  wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Ord word 5639  (class class class)co 6549  ωcom 6957  2𝑜c2o 7441  cen 7838  cdom 7839   +𝑐 ccda 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873
This theorem is referenced by:  cctop  20620  2ndcdisj2  21070  ovolctb2  23067  uniiccdif  23152  prct  28875
  Copyright terms: Public domain W3C validator