Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hypcgrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hypcgrlem1 25491
 Description: Lemma for hypcgr 25493, case where triangles share a cathetus. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m = (dist‘𝐺)
hypcgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
hypcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
hypcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
hypcgr.d (𝜑𝐷𝑃)
hypcgr.e (𝜑𝐸𝑃)
hypcgr.f (𝜑𝐹𝑃)
hypcgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
hypcgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
hypcgrlem2.b (𝜑𝐵 = 𝐸)
hypcgrlem1.s 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
hypcgrlem1.a (𝜑𝐶 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem1
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hypcgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hypcgr.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐶𝑃)
8 hypcgr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 hypcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐹𝑃)
12 hypcgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐷𝑃)
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16 hypcgr.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
17 hypcgr.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
181, 2, 3, 14, 15, 4, 8, 16, 6, 17ragcom 25393 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
191, 2, 3, 14, 15, 4, 6, 16, 8israg 25392 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴))))
2018, 19mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
22 hypcgrlem1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = 𝐹)
2322eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = 𝐶)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐹 = 𝐶)
25 hypcgr.h . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
261, 2, 3, 4, 25, 8, 12, 15, 16ismidb 25470 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵))
2726biimpar 501 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴))
2824, 27oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐹 𝐷) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
2921, 28eqtr4d 2647 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
301, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29tgcgrcomlr 25175 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
31 simpr 476 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
3222ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐹)
3331, 32oveq12d 6567 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
3417ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
354ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
368ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
3716ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
386ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
391, 2, 3, 14, 15, 35, 36, 37, 38israg 25392 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
4034, 39mpbid 221 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
4125ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42 hypcgrlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
4312ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷𝑃)
441, 2, 3, 35, 41, 36, 43midcl 25469 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ 𝑃)
45 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵)
461, 3, 14, 35, 44, 37, 45tgelrnln 25325 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∈ ran (LineG‘𝐺))
47 eqid 2610 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
48 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
491, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 47, 38mircl 25356 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
50 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
511, 2, 3, 35, 41, 36, 43midbtwn 25471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐴𝐼𝐷))
521, 14, 3, 35, 36, 44, 43, 51btwncolg3 25252 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) ∨ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
53 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 = 𝐷)
54 hypcgrlem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = 𝐸)
5553, 54, 22s3eqd 13460 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
5655ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57 hypcgr.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5857ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5956, 58eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
601, 2, 3, 14, 15, 35, 43, 37, 38israg 25392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝐶) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
6159, 60mpbid 221 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 𝐶) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
621, 14, 3, 35, 36, 43, 44, 48, 38, 49, 2, 50, 52, 40, 61lncgr 25264 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) 𝐶) = ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
631, 2, 3, 14, 15, 35, 44, 37, 38israg 25392 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) 𝐶) = ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
6462, 63mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
651, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx1 25328 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
661, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx2 25329 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵 ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
671, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 44, 47, 64, 65, 66, 38, 45lmimid 25486 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
6867oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
6940, 68eqtr4d 2647 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 (𝑆𝐶)))
701, 2, 3, 35, 41, 43, 36midcom 25474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
7170, 65eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(midG‘𝐺)𝐴) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
7250necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷𝐴)
731, 3, 14, 35, 43, 36, 72tgelrnln 25325 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∈ ran (LineG‘𝐺))
741, 2, 3, 35, 36, 44, 43, 51tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐷𝐼𝐴))
751, 3, 14, 35, 43, 36, 44, 72, 74btwnlng1 25314 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
7665, 75elind 3760 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∩ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴)))
771, 3, 14, 35, 43, 36, 72tglinerflx2 25329 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
7845necomd 2837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
794ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
808ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴𝑃)
8112ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐷𝑃)
8225ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
83 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
8483eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐴)
851, 2, 3, 79, 82, 80, 81, 84midcgr 25472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝐷))
8685eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴 𝐷) = (𝐴 𝐴))
871, 2, 3, 79, 80, 81, 80, 86axtgcgrid 25162 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴 = 𝐷)
8887ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = 𝐷))
8988necon3d 2803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴𝐷𝐴 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
9089imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
91 hypcgr.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝑃)
92 hypcgr.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
931, 2, 3, 4, 8, 16, 12, 91, 92tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
9454oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐸 𝐷))
9593, 94eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐷))
9695ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐷))
97 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
981, 2, 3, 35, 41, 36, 43, 15, 44ismidb 25470 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
9997, 98mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴))
10099oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴)))
10196, 100eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴)))
1021, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 44, 36israg 25392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐵(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴))))
103101, 102mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐵(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1041, 2, 3, 14, 35, 46, 73, 76, 66, 77, 78, 90, 103ragperp 25412 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
105104orcd 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))
1061, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 36islmib 25479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 = (𝑆𝐷) ↔ ((𝐷(midG‘𝐺)𝐴) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∧ (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))))
10771, 105, 106mpbir2and 959 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 = (𝑆𝐷))
108107oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = ((𝑆𝐷) (𝑆𝐶)))
1091, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 38lmiiso 25489 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝑆𝐷) (𝑆𝐶)) = (𝐷 𝐶))
11022oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 𝐶) = (𝐷 𝐹))
111110ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 𝐶) = (𝐷 𝐹))
112108, 109, 1113eqtrd 2648 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = (𝐷 𝐹))
11369, 112eqtrd 2644 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
11433, 113pm2.61dane 2869 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
11530, 114pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  ⟨“cs3 13438  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  cgrGccgrg 25205  pInvGcmir 25347  ∟Gcrag 25388  ⟂Gcperpg 25390  midGcmid 25464  lInvGclmi 25465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-mid 25466  df-lmi 25467 This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  25492
 Copyright terms: Public domain W3C validator