Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hypcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hypcgr 25493
 Description: If the catheti of two right-angled triangles are congruent, so is their hypothenuse. Theorem 10.12 of [Schwabhauser] p. 91. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m = (dist‘𝐺)
hypcgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
hypcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
hypcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
hypcgr.d (𝜑𝐷𝑃)
hypcgr.e (𝜑𝐸𝑃)
hypcgr.f (𝜑𝐹𝑃)
hypcgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
hypcgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
hypcgr (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))

Proof of Theorem hypcgr
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hypcgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hypcgr.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 hypcgr.h . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 hypcgr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 hypcgr.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
8 hypcgr.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
9 eqid 2610 . . . 4 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10 eqid 2610 . . . 4 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11 hypcgr.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 11midcl 25469 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐸) ∈ 𝑃)
13 eqid 2610 . . . 4 ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))
14 hypcgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
151, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14mircl 25356 . . 3 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) ∈ 𝑃)
161, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 11mircl 25356 . . 3 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) ∈ 𝑃)
17 hypcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
181, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 17mircl 25356 . . 3 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹) ∈ 𝑃)
19 hypcgr.1 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
20 hypcgr.2 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
211, 2, 3, 9, 10, 4, 14, 11, 17, 20, 13, 12mirrag 25396 . . 3 (𝜑 → ⟨“(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22 hypcgr.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
231, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14, 11miriso 25365 . . . 4 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)) = (𝐷 𝐸))
2422, 23eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸)))
25 hypcgr.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
261, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 11, 17miriso 25365 . . . 4 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)) = (𝐸 𝐹))
2725, 26eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)))
281, 2, 3, 4, 5, 11, 7midcom 25474 . . . 4 (𝜑 → (𝐸(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐸))
291, 2, 3, 4, 5, 11, 7, 10, 12ismidb 25470 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸) ↔ (𝐸(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐸)))
3028, 29mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐸))
31 eqid 2610 . . 3 ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹))(LineG‘𝐺)𝐵)) = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐶(midG‘𝐺)(((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹))(LineG‘𝐺)𝐵))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 18, 19, 21, 24, 27, 30, 31hypcgrlem2 25492 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)))
331, 2, 3, 9, 10, 4, 12, 13, 14, 17miriso 25365 . 2 (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐸))‘𝐹)) = (𝐷 𝐹))
3432, 33eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  ⟨“cs3 13438  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  pInvGcmir 25347  ∟Gcrag 25388  midGcmid 25464  lInvGclmi 25465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-ismt 25228  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-mid 25466  df-lmi 25467 This theorem is referenced by:  trgcopy  25496
 Copyright terms: Public domain W3C validator