Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiopp 25494
 Description: Line mirroring produces points on the opposite side of the mirroring line. Theorem 10.14 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m = (dist‘𝐺)
lmiopp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lmiopp.n 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmiopp.a (𝜑𝐴𝑃)
lmiopp.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
lmiopp (𝜑𝐴𝑂(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑀,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lmiopp
StepHypRef Expression
1 lmiopp.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
2 lmiopp.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 lmiopp.m . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
4 lmiopp.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 lmiopp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 lmiopp.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
7 lmiopp.n . . . . . . . . 9 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
8 lmiopp.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 lmiopp.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 lmiopp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmilmi 25481 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐴)) = 𝐴)
1211eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴) ↔ 𝐴 = (𝑀𝐴)))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmicl 25478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13lmiinv 25484 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷))
15 eqcom 2617 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴))
1712, 14, 163bitr3d 297 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴))
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmiinv 25484 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴𝐷))
1917, 18bitrd 267 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐴) ∈ 𝐷𝐴𝐷))
201, 19mtbird 314 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷)
211, 20jca 553 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷))
22 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀𝐴))
232, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13islmib 25479 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿(𝑀𝐴)) ∨ 𝐴 = (𝑀𝐴)))))
2422, 23mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿(𝑀𝐴)) ∨ 𝐴 = (𝑀𝐴))))
2524simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷)
262, 3, 4, 5, 6, 10, 13midbtwn 25471 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))
27 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑡 = (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴))))
2827rspcev 3282 . . . 4 (((𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ 𝐷 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)(𝑀𝐴)) ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))
2925, 26, 28syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))
3021, 29jca 553 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴))))
31 lmiopp.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
322, 3, 4, 31, 10, 13islnopp 25431 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑀𝐴) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (𝑀𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝐴)))))
3330, 32mpbird 246 1 (𝜑𝐴𝑂(𝑀𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  {copab 4642  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  ⟂Gcperpg 25390  midGcmid 25464  lInvGclmi 25465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-mid 25466  df-lmi 25467 This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  25497
 Copyright terms: Public domain W3C validator