Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodcl 39437
 Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodcl.1 𝑘𝜑
hoiprodcl.2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoiprodcl (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl
StepHypRef Expression
1 0xr 9965 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 9971 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 hoiprodcl.1 . . . 4 𝑘𝜑
6 hoiprodcl.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
7 hoiprodcl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
108, 9fvovco 38376 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
1110fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))))
127ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13 xp1st 7089 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
15 xp2nd 7090 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
17 volico 38876 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1814, 16, 17syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
1911, 18eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0))
2016, 14resubcld 10337 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))) ∈ ℝ)
21 0red 9920 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2220, 21ifcld 4081 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → if((1st ‘(𝐼𝑘)) < (2nd ‘(𝐼𝑘)), ((2nd ‘(𝐼𝑘)) − (1st ‘(𝐼𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
245, 6, 23fprodreclf 14528 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
2524rexrd 9968 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
2616rexrd 9968 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
27 icombl 23139 . . . . . 6 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2814, 26, 27syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ∈ dom vol)
2910, 28eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30 volge0 38853 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
325, 6, 23, 31fprodge0 14563 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
3324ltpnfd 11831 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
342, 4, 25, 32, 33elicod 12095 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  [,)cico 12048  ∏cprod 14474  volcvol 23039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041 This theorem is referenced by:  ovnprodcl  39444  hoiprodcl2  39445  ovnhoilem1  39491
 Copyright terms: Public domain W3C validator