Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 14563
 Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph 𝑘𝜑
fprodge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodge0.kph . . 3 𝑘𝜑
2 elrege0 12149 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
32simplbi 475 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
43ssriv 3572 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 9872 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3577 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8 ge0mulcl 12156 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
98adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10 fprodge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13 elrege0 12149 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1411, 12, 13sylanbrc 695 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 1re 9918 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
16 0le1 10430 . . . . . 6 0 ≤ 1
17 ltpnf 11830 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
1915, 16, 183pm3.2i 1232 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
20 0e0icopnf 12153 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
214, 20sselii 3565 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
23 elico2 12108 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
2421, 22, 23mp2an 704 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
2519, 24mpbir 220 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
271, 7, 9, 10, 14, 26fprodcllemf 14527 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
28 0xr 9965 . . . 4 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ*)
3022a1i 11 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
31 id 22 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
32 icogelb 12096 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1318 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
3427, 33syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  ∏cprod 14474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475 This theorem is referenced by:  fprodle  14566  hoiprodcl  39437  hoiprodcl3  39470  hoidmvcl  39472  hsphoidmvle2  39475  hsphoidmvle  39476
 Copyright terms: Public domain W3C validator