Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp1st 7089
 Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5055 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐶)))
2 vex 3176 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3 vex 3176 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
42, 3op1std 7069 . . . . . 6 (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (1st𝐴) = 𝑏)
54eleq1d 2672 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((1st𝐴) ∈ 𝐵𝑏𝐵))
65biimpar 501 . . . 4 ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑏𝐵) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
76adantrr 749 . . 3 ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐶)) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
87exlimivv 1847 . 2 (∃𝑏𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐶)) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
91, 8sylbi 206 1 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036  ‘cfv 5804  1st c1st 7057 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-1st 7059 This theorem is referenced by:  el2xptp0  7103  offval22  7140  xpf1o  8007  xpmapenlem  8012  mapunen  8014  unxpwdom2  8376  r0weon  8718  infxpenlem  8719  fseqdom  8732  iundom2g  9241  enqbreq2  9621  nqereu  9630  addpqf  9645  mulpqf  9647  adderpqlem  9655  mulerpqlem  9656  addassnq  9659  mulassnq  9660  distrnq  9662  mulidnq  9664  recmulnq  9665  ltsonq  9670  lterpq  9671  ltanq  9672  ltmnq  9673  ltexnq  9676  archnq  9681  elreal2  9832  cnref1o  11703  fsum2dlem  14343  fsumcom2  14347  fsumcom2OLD  14348  ackbijnn  14399  fprod2dlem  14549  fprodcom2  14553  fprodcom2OLD  14554  ruclem6  14803  ruclem8  14805  ruclem9  14806  ruclem10  14807  ruclem11  14808  ruclem12  14809  eucalgval  15133  eucalginv  15135  eucalglt  15136  eucalg  15138  xpsff1o  16051  comfffval2  16184  comfeq  16189  idfucl  16364  funcpropd  16383  fucpropd  16460  xpccatid  16651  1stfcl  16660  2ndfcl  16661  xpcpropd  16671  hofcl  16722  hofpropd  16730  yonedalem3  16743  lsmhash  17941  gsum2dlem2  18193  evlslem4  19329  mdetunilem9  20245  tx2cn  21223  txdis  21245  txlly  21249  txnlly  21250  txhaus  21260  txkgen  21265  txcon  21302  txhmeo  21416  ptuncnv  21420  ptunhmeo  21421  xkohmeo  21428  utop2nei  21864  utop3cls  21865  imasdsf1olem  21988  cnheiborlem  22561  caubl  22914  caublcls  22915  bcthlem2  22930  bcthlem4  22932  bcthlem5  22933  ovolficcss  23045  ovoliunlem1  23077  ovoliunlem2  23078  ovolicc2lem1  23092  ovolicc2lem2  23093  ovolicc2lem4  23095  ovolicc2lem5  23096  dyadmbl  23174  fsumvma  24738  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  disjxpin  28783  gsummpt2d  29112  fimaproj  29228  cnre2csqima  29285  tpr2rico  29286  esum2dlem  29481  esumiun  29483  2ndmbfm  29650  sxbrsigalem0  29660  dya2iocnrect  29670  sibfof  29729  sitgaddlemb  29737  msubff  30681  msubco  30682  mpst123  30691  msubvrs  30711  funtransport  31308  filnetlem3  31545  elxp8  32395  finixpnum  32564  poimirlem4  32583  poimirlem5  32584  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem9  32588  poimirlem10  32589  poimirlem11  32590  poimirlem12  32591  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem18  32597  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem25  32604  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  heicant  32614  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  ftc2nc  32664  heiborlem8  32787  dvhb1dimN  35292  dvhvaddcl  35402  dvhvaddcomN  35403  dvhvscacl  35410  dvhgrp  35414  dvhlveclem  35415  dibelval1st  35456  dicelval1stN  35495  rmxypairf1o  36494  frmx  36496  cnmetcoval  38389  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  volicoff  38888  voliooicof  38889  etransclem44  39171  etransclem45  39172  etransclem47  39174  hoissre  39434  hoiprodcl  39437  ovnsubaddlem1  39460  ovnhoilem2  39492  hoicoto2  39495  ovncvr2  39501  opnvonmbllem2  39523  ovolval2lem  39533  ovolval3  39537  ovolval4lem1  39539  ovolval4lem2  39540  ovolval5lem2  39543  ovnovollem1  39546  ovnovollem2  39547  smfpimbor1lem1  39683
 Copyright terms: Public domain W3C validator