Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg2 14305
 Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumsers.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2751 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
2 nfv 1830 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
3 nfcsb1v 3515 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
4 nfcv 2751 . . . . 5 𝑘0
52, 3, 4nfif 4065 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0)
6 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
7 csbeq1a 3508 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
86, 7ifbieq1d 4059 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
91, 5, 8cbvmpt 4677 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
10 fsumsers.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
123nfel1 2765 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
137eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1412, 13rspc 3276 . . . 4 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1511, 14mpan9 485 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
16 fsumsers.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
17 fsumsers.4 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
189, 15, 16, 17fsumcvg 14290 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
19 eluzel2 11568 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2016, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 fsumsers.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
22 eluzelz 11573 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2524, 10eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2625ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
27 iffalse 4045 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
28 0cn 9911 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2927, 28syl6eqel 2696 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
3026, 29pm2.61d1 170 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
31 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3231fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3322, 30, 32syl2anr 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3421, 33eqtr4d 2647 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
3534ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
36 nffvmpt1 6111 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
3736nfeq2 2766 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
38 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
39 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4038, 39eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4137, 40rspc 3276 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4235, 41mpan9 485 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4320, 42seqfeq 12688 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))))
4443fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
4518, 43, 443brtr4d 4615 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067 This theorem is referenced by:  fsumsers  14306  fsumcvg3  14307  ef0lem  14648
 Copyright terms: Public domain W3C validator