MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Structured version   Unicode version

Theorem fsumcvg2 13603
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2562 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
2 nfv 1726 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
3 nfcsb1v 3386 . . . . 5  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
4 nfcv 2562 . . . . 5  |-  F/_ k
0
52, 3, 4nfif 3911 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 )
6 eleq1 2472 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
7 csbeq1a 3379 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
86, 7ifbieq1d 3905 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
91, 5, 8cbvmpt 4483 . . 3  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( m  e.  ZZ  |->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  0 ) )
10 fsumsers.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1110ralrimiva 2815 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
123nfel1 2578 . . . . 5  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  CC
137eleq1d 2469 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1412, 13rspc 3151 . . . 4  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1511, 14mpan9 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ B  e.  CC )
16 fsumsers.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
17 fsumsers.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
189, 15, 16, 17fsumcvg 13588 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq M
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
19 eluzel2 11048 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2016, 19syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
21 fsumsers.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
22 eluzelz 11052 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
23 iftrue 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2423adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2524, 10eqeltrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
2625ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
27 iffalse 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
28 0cn 9536 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
2927, 28syl6eqel 2496 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
3026, 29pm2.61d1 159 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
31 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3231fvmpt2 5895 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
3322, 30, 32syl2anr 476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3421, 33eqtr4d 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
3534ralrimiva 2815 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k ) )
36 nffvmpt1 5811 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 n )
3736nfeq2 2579 . . . . 5  |-  F/ k ( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n )
38 fveq2 5803 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
39 fveq2 5803 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4038, 39eqeq12d 2422 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  k )  <-> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4137, 40rspc 3151 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 k )  -> 
( F `  n
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) ) )
4235, 41mpan9 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  n )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  n ) )
4320, 42seqfeq 12084 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  =  seq M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4443fveq1d 5805 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) `  N
) )
4518, 43, 443brtr4d 4422 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   [_csb 3370    C_ wss 3411   ifcif 3882   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   0cc0 9440    + caddc 9443   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043   ...cfz 11641    seqcseq 12059    ~~> cli 13361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365
This theorem is referenced by:  fsumsers  13604  fsumcvg3  13605  ef0lem  13913
  Copyright terms: Public domain W3C validator