Theorem fiblem 29787

Description: Lemma for fib0 29788, fib1 29789 and fibp1 29790. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 13484	. . . . . . 7 ⊢ (#‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ 2 = (#‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6106	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 5383	. . . 4 ⊢ (◡# “ (ℤ≥‘2)) = (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 3773	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 4670	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))
8		elin 3758	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 475	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 13165	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 12987	. . . . . . . . . 10 ⊢ #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
15		elpreima 6245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (# Fn V → (𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	syl6eleqr 2699	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 11595	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 11011	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	syl6eleqr 2699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 11619	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 11599	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	syl6eleqr 2699	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 10912	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 11713	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 11780	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) < (#‘𝑤))
34		elfzo0 12376	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↔ (((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑤) − 2) < (#‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1239	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelrnd 6268	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 12426	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑤) ∈ ℕ → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelrnd 6268	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 11232	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 6291	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs2 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444

This theorem is referenced by:  fib0  29788  fib1  29789  fibp1  29790