Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcn 21797
 Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d / = (/r𝑅)
dvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcn (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2610 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 dvrcn.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2610 . . 3 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrcn.d . . 3 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 18507 . 2 / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑦)))
7 dvrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8 tdrgtrg 21786 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9 tdrgtps 21790 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
101, 7istps 20551 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
119, 10sylib 207 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
121, 3unitss 18483 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13 resttopon 20775 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
1411, 12, 13sylancl 693 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
1511, 14cnmpt1st 21281 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
1611, 14cnmpt2nd 21282 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn (𝐽t 𝑈)))
177, 4, 3invrcn 21794 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → (invr𝑅) ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn 𝐽))
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 21285 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ ((invr𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 21796 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
206, 19syl5eqel 2692 1 (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  Unitcui 18462  invrcinvr 18494  /rcdvr 18505  TopOnctopon 20518  TopSpctps 20519   Cn ccn 20838   ×t ctx 21173  TopDRingctdrg 21770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-plusf 17064  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-tx 21175  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-trg 21773  df-tdrg 21774 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator